2.有甲、乙两个数，甲数与乙数的和为50，甲数的2倍与乙数的7倍和为250，按下列要求，求甲、乙两个数：（1）列一元一次方程解决问题！（2）尝试用二元一次方程组解决问题吧！
回顾用一元一次方程解决问题的步骤：
3.有甲、乙两个数，其中2个甲数与3个乙数的和为130，甲数的2倍与乙数的7倍和为250，求甲、乙两个数。
（一）旧知识的回顾
在学生接受新知之前，考察学生是否具备了与新知有关的知识与技能，缩短新旧知识之间的距离。案例中的第1题分别用代入消元法和加减消元法解方程组，此题设计目的是巩固学生正确、熟练解二元一次方程组，为解决新知扎实基础。第2题中（1）列一元一次方程解决问题，让学生回顾用一元一次方程解决问题的步骤，从而为学元一次方程组解决问题提供类比思想。
（二）新知识的简单尝试
第3题（巧妙变式第2题）通过与刚才第2题的对比，让学生思考，对于本题选择“一元一次方程解决问题”与“二元一次方程组解决问题”哪个更方便，让学生感到学这节课的必要性。通常我们老师设计一节课，比较注重“我怎么教”，而对于“我为什么要教这节课”和“学生在这节课中学到了什么”思考相对较少，所以我认为在“学案”四个环节的作业设计中，都应该注意这三个问题。上课前教师收齐“学案”，批阅“学前准备”这一部分的内容，然后对“学案”再次进行补充完善，以学定教。在课上有针对性地点拨，课堂效率就提高了。
二、课堂探究
学生理解和掌握的知识是要通过训练去强化，通过运用去巩固和提高的，这样才能内化为学生的素质，形成学习能力。所以，我认为课堂研讨部分的练习设计应注意适度和适量。
(一）要注重课内例题的基础性、典型性、坡度性
例题的设计和选择要体现基础性、典型性、坡度性。例题主要采用书上的例题，但采用之前必须进行适当改变，哪怕改变计算题中的一个数字或几何证明中的一个字母（防止少数学生在自学时不动脑筋的抄，而是必须自学看懂书上例题，再做“学案”上的预习题目）；呈现方式上一题多变，利用书上的例题进行变式、挖掘和提高，从深度和广度上来挖掘例题的作用。同时几个例题要步步为营，步步深入，有一定的坡度性。还是以“一次方程组的应用”这内容为例，在第二节课设计例题时，可以把例题2的结论进行适当变式，因为对于“用直接未知量来设二元一次方程组解决问题”在第1节课中学生已经掌握很好，不妨通过变式呈现一个“用间接未知量来设二元一次方程组解决问题”的题目，从而提高学生解决此类问题的能力。
（二）课堂练习要适量
三、延伸拓展
（二）自编练习题
试题都是源于书本，只是命题人在题设条件、问题的情境和设问方式上作了适当的变换，中考题就是把平时练习中的题目通过给出新的情景、改变设问方式、互换条件与结论等手段改编而成。这样的试题给人一种似曾相识而又似是而非的感觉，很多学生由于思维定势造成失分，此时应变能力至关重要。因而我们在平时作业中，有意识地对一些可以改编的问题进行变式训练、题组训练，让学生进一步掌握这类问题的本质及其通性通法，同时有意识进行一题多解，培养学生发散思维能力，丰富教学内容。
（三）设计层次性作业，让学生体验成功
数学新课标指出，由于学生所处的文化环境、家庭背境和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼和富有个性的过程。因此，学生之间的数学能力存在着差异。为了实现“不同的人在数学上得到不同的发展”，设计作业时，不能搞“一刀切”,而应从学生的实际出发，设计层次性作业，为不同发展水平的学生创设练习和提高的平台，让学生在实践中体验成功。
（1）难度的分层
根据学生实际，分层设计作业，让不同水平的学生自主选择，给学生作业的“弹性权”，实现“人人能练习，人人能成功”，让学生学有所得，练有所获。当然，每个学生的学习接受的能力是不同的，为防止差生“吃不了”、优生“吃不饱”的现象，所以我们根据学生的不同层次，把作业设为必做题，选做题甚至渗透竞赛的题目，让学有余力的同学完成。
（2）数量的分层
学生可以根据自己的实际，能做几道题就做几道题，教师不作“硬性”规定（当然老师心里有一个谱），设计的作业太多或太难就会让学生失去对数学练习的兴趣，教师逼急了，他一抄了之，应付一下。特别是学习有困难的学生，一般情况下，他们做练习的速度可能由于基础或者习惯方面的原因会很慢，如果数学题目的容量经常多得无法完成，就容易滋长“债欠多了不愁”的心理。
关键词初中数学教学课程设计思考
1教学内容分析
二元一次方程是九年义务教育七年级课程第八章《二元一次方程组》的第一节的内容，在学习本节内容之前学生已经学习了一元一次方程的全部内容，而本节内容是一元一次方程的延伸，也是二元一次方程组教学内容的基础内容，起着承上启下的作用。
2教学过程设计
2.1创设问题，引入课题
教师：“同学们，你们喜欢篮球运动吗？”“你们喜欢哪个球队和球星？”学生：根据喜好做出回答，如“我喜欢火箭队”，“我喜欢姚明”。
教师：好，如果有一场火箭队和雄鹿队的比赛中，姚明总共得到12分，罚球得分为4分，没有投中三分球，大家可以算出姚明总共投中了多少个两分球吗？这个问题可以用方程解决吗？（问题通过PPT展示，下同）学生：经过思考列出一元一次方程：2+4=12，得到答案=4。
教师：如果我们现在不知道姚明罚球得分是多少，你能知道姚明投进多少两分球，罚进几个球吗？（罚进1球得1分）学生：经过思考后发现不能通过一元一次方程解决。
教师：如果我们假设姚明投进了个两分球，罚进了个球，你们可以列出方程吗？学生：经过思考列出方程：2+=10。
教师：如果姚明在这场比赛中也投进了三分球，现在已经知道他总共得了30分，罚进了4个球，你知道他进了多少个两分球，多少个三分球吗？学生：思考后列出方程：设姚明投进个两分球，个三分球，则2+3+4=30。
教师：大家思考一下后面两个方程和第一个方程有什么不同的地方，后面两个方程有什么共同点？（有两个未知变量，变量为一次）。你们可以给后面两个方程起个名字吗？然后在学生回答之后引出本次课程的内容：二元一次方程(板书)。
思考：兴趣是开启轻松、高效学习之门的一把钥匙，在兴趣的驱使下，学生将爆发出无限的激情去探索和研究，教师在授课过程中激发学生对数学学习兴趣进而去探索和创新是非常重要的。教师可以在课程开始之前创设一些有趣的问题或者加入与生活比较贴近的元素引发学生的思考。一堂好的课程的完成不仅需要教师能够顺利的将知识点讲授出来，同时还要求在这个讲授的过程中能够连贯、自然、富有逻辑性和趣味性，因此教师不但要对知识点有较为深入的了解，还需要有丰富的实践经验，并在教学过程中合理的加以利用，丰富课堂内容，提高学生兴趣。本堂课程以学生比较喜欢的篮球比赛为题引入教学内容，首先让学生明白数学是与日常生活非常贴近的，可以解决生活中的问题，其次也利用这个话题引发学生学习兴趣。
2.2交流探索，互动教学
教师：同学们能不能根据你们所列出的方程说一下二元一次方程的概念。学生：思考后做出回答。
教师：大家翻开课本，看一下课本中给的定义与你自己总结的定义有什么不同？学生：思考后回答。
教师：根据定义大家能自己写出一个二元一次方程吗？学生：思考后，自己写出一个二元一次方程。
教师：大家判断一下这几个方程是不是二元一次方程。
PPT展示几个方程：4=20，+=2，2+=0，+=2
教师：在第二个问题中，我们得到方程2+=24，同学们思考一下姚明有可能投进多少两分球，罚进几个球，然后把结果按照下表格式填进去。
教师：大家是怎么样得到答案的，怎么验证你写出的答案是正确的呢？（学生回答后，结合一元一次方程解的概念引导学生对二元一次方程解到概念有个初步的认识）
引出内容：二元一次方程解的概念（使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值）。
2.3注重随堂练习，加深知识理解
教师：大家已经明白了二元一次方程的定义和二元一次方程解的概念，下面请大家做一道题：
判断下列方程哪些是二元一次方程：
+4=7，+=4，24=0，2=0，=0，4+3=0，+5=12
2.4归纳总结，梳理知识
教师：大家能说一下今天这堂课你有什么收获吗？都学到了哪些知识。
学生1：二元一次方程组的定义
学生2：判断一个方程是否为二元一次方程
学生3：二元一次方程解的概念
学生4：判断一组解是否是一个二元一次方程的解……
思考：对一节课程知识点的归纳总结和梳理是对整堂课的升华过程，教师通过归纳总结可以清晰的给学生展示课堂的知识脉络，让学生对整堂课的知识有个较为系统的了解。在这个过程中教师最好不要自己全部总结，而是先让学生进行思考和总结，然后教师对学生的认识进行总结，指出重点和不足。这个环节不仅仅是互动教学的重要部分，还可以让学生在归纳思考过程中自己对知识点进行梳理，相当于进行了一次复习，加深了学生对所学知识点的记忆和理解。同时学生经过归纳总结之后勇敢的将自己的思想表达出来，增强了学生的自信心，教师肯定的过程又是对学生的肯定和鼓励的过程，这样学生学习起来将会更加主动和积极。
关键词：初中数学数学题组课堂教学
波利亚曾经指出，学生厌烦数学的原因主要源于教师厌烦数学，因此，新课改一再强调教师要先转变教学观念，拓宽教学思路，优化教学方法，通过多种形式展开教学，让学生能够体验到一个充满快乐又个性张扬的学习数学的过程。基于此，在教学实践中，教师应时刻秉承教育改革中“以生为本”的中心思想，把握好数学的学科特点，利用数学题组将理论与实践相结合，同时以初中生的心理特点和兴趣爱好为切入点，创新思路，创新教法，用数学题组激发学生对数学的情感与兴致，培养他们的思考和反思能力，让他们从乐学到爱学，从爱学到会学。本文结合初中数学教学实际，对数学题组在初中数学课堂教学中的运用进行了探索。
1以数学题组引导学生反思
2以数学题组激发学习兴趣
数学不同与语文或者其他学科，尤其是初中数学较强的逻辑思维性，以及概念抽象性，使很多学生因读不懂数学题而感到学习困难，最终使他们的学习成绩停滞不前。那么，怎样能激发初中生的数学学习兴趣，使学生积极地参与解数学题这一过程？笔者认为，让数学题组成为激发学习兴趣的“导线”，给学生心理注入一些富有挑战性的积极因素，学生就不会感到枯燥无味了。
在课堂教学中，数学题组的设计和构建关系到了教学质量，因此，科学设计数学题组是组织课堂的首要前提。现以“二元一次方程”教学为例，对数学题组的设计和应用进行分析。
综合来说，教学过程共分为5个环节：
环节1：明确学习主题和重难点。
方法：首先让学生细读课文，重点阅读课文中的练习题、涉及到定义的句子和段落，其次让学生说出本课的学习主题和重难点，主题为“二元一次方程”，重难点为用代入法求解方程组，对二元一次方程的解的理解，最后教师板书。
设计意图：帮助学生消除对教师的依赖，让学生自主了解学习内容，同时引导学生通过阅读课文，对本课所要学习的数学题有所了解，调动学生的记忆表象，让学生做好学习准备。
环节2：导入数学题。
方法：以多媒体视频演示生活中的二元一次方程，如：出租车公司有两种客车，分别为：40座租金320元，60座租金460元。七年级春游时租了9辆车，恰好座位全满。那么，七年级共有学生多少人？两种客车分别租了多少辆？其次让学生以小组合作的方式分析题意，总结这道题的特点。
设计意图：（1）让学生尝试用学过的知识解题；（2）让学生对二元一次方程产生初步认识；（3）让学生在而后学习中能够时刻与实例联系起来。
环节3：通过解数学题总结知识定义。
方法：让学生在不看课本的前提下，以小组合作的形式根据上述实例分析总结出二元一次方程的定义，笔者以一元一次方程予以学生适当提示。
设计意图：让学生通过实例分析自主总结二元一次方程的定义。
环节4：习题练习。
方法：用多媒体演示两道应用题让学生合作解答。
设计意图：帮助学生巩固对二元一次方程定义的认识，让学生掌握方程组的解法。
环节5：讨论交流。
方法：让学生以小组形式进行讨论交流，鼓励学生将自己学到的讲出来，记录不同的见解，由笔者适当点拨。
设计意图：加强学生间的交流互动，让学生通过交流掌握更多的解题方法，并使他们对“数学题组”的作用、价值等产生客观的认识。
3结语
参考文献：
摘要：分层教学是以学生的学习基础、知识接受能力、学习积极性和主动性、平时学习成绩等划分层次，制定不同层次的教学模式、备课内容和层次变动标准的教学方法。分层教学的实践运用主要包括课堂教学环节的讲解内容、课堂提问、课堂练习和课后指导环节的课后作业、课后辅导、预习新课等措施。
关键词：初中数学；分层教学
一、分层教学的准备步骤
1.确定分层层次。确定分层层次是准备分层教学的第一步，一般而言，若只划分三四个层次，就会对学生的自尊心造成不同程度的伤害，因此，笔者根据实际经验划分了六个层次，其标准和步骤参照如下：①以学生的学习基础、知识接受能力、思维思考能力、学习积极性和主动性、平时的学习成绩和自信心等进行评估；②对学生平时的课堂表现和作业表现等做出真实评价；③对学生的最终分类，即划分层次和标准分别为：A+是学习基础好、成绩好、满分水平的学生层次；A是学习水平处于高层级，成绩顶尖的学生层次；B是学习水平处于中等偏上层级、基础较好、成绩较好的学生层次；C是学习水平处于中等层级、基础一般、成绩一般的学生层次；D是学习水平处于较差层级、学习基础差、成绩差的学生层次；E是学习基础差、成绩差、学习消极、无自信心的学生层次；其中A+和E层设置原因分别为保护学困生的自尊心和促进尖子生的学习动力。
2.确定分层教学模式和备课内容。确定分层教学模式和备课内容是准备分层教学法的第二步，其中，教学模式应该包括教学目标、内容、方法、课堂提问、课后作业、平时测试、期中（期末）考试等，即针对每一分层的学生制定不同标准的目标体系。例如，处于C分层学生的教学模式为理解主要教学内容、辅导式教学方法、课堂提问重要问题、课后作业为基础题、考试以主要内容为重等。
备课内容应该对应不同分层学生的教学目标体系，即采取多层次备课方式，例如，以“二元一次方程”教学为例，D分层的备课内容是使学生掌握二元一次方程组的表达式和理解基本的运用方法；C、B分层的备课内容是使学生理解二元一次方程组的“代入法”和“消元法”；A分层的备课内容是使学生掌握复杂的二元一次方程组的“代入法”和“消元法”；A+分层的备课内容是使学生针对实际问题列出二元一次方程组并求解，分层设置能激发学生的学习兴趣和热情，提高学生学习的积极性和主动性。
3.确定层次变动标准和构建层次学习小组。学生分层不是一成不变的，层次变动的目的在于为学生提供直观的差异认识，确定自身位置并继续努力，且努力的结果并非单指成绩的提高，而是表现在知识接受能力、思维思考能力、学习积极性、学习主动性等诸多方面，即为分层等级的提升。例如，在某一个学生分层达标、能力提高、基础巩固后，笔者会有意识地跳层提问或者跳层布置课后作业，引导学生向上一层次过渡，或者定期采取降级措施，以惩罚因骄傲而退步的学生。
构建层次学习小组的目标是为学生提供思维交流和方法讨论的学习平台，而且小组竞争机制能使每个小组成员通过互相帮助和团队协作以获得跳层奖励。在实际教学中，笔者采取每一个小组由一名B层学生、两名C层学生、两名D层学生构成，使好中差学生都可以相互学习和互帮互助。此外，在每个月末，笔者会公布小组组员的排名和不同小组的整体竞争性排名，这样，在竞争压力下，小组成员会努力提高自己的排名以便使小组整体竞争力提升。事实证明，构建层次小组能提升全班学生的集体荣誉感，使学生在数学学科取得很大进步。
二、分层教学的实践运用
1.课堂教学环节。教学课堂是教授知识的平台，因此，可以从讲解内容、课堂提问、课堂练习这三个方面进行分层教学实践。讲解内容的目的是使学生了解、学习、掌握新知识，在教学过程中，笔者会根据课本章节安排和教学大纲要求确定讲解内容，以知识点为基础，确定讲解方法和方式，并对不同层次的学生提出不同的要求。例如，在讲授二元一次方程组“代入法”表达形式时，笔者就会指明D、C层次的学生必须了解并套用书本解题步骤；B层学生必须脱离书本并熟练掌握解题步骤；A层学生必须深刻理解“代入法”并熟练运用其它解法解题。这样，不仅使每个层次的学生都明确自己的学习任务，而且还使其严格要求自己向高层目标奋进。
课堂提问是课堂教学环节教师与学生交流的桥梁，通过这一环节，教师可以了解学生的学习情况并保持其学习的积极主动性。在实际教学中，笔者会注意自身的提问方式和评价方式，例如，在“回顾提问”时，采取下述提问方式和提问内容：对于B层学生注意考察内容的深层理解；对于C层学生注意考察内容的巩固掌握；对于D层学生注意考察内容的记忆程度。在学生积极性不高时，笔者会鼓励不同层次的学生回答问题，使他们真正融入课堂，以提高教学效率和效果。
课堂练习是检查教学效果、巩固学生记忆、加深知识理解的测评方式，一般位于重要知识点的讲解之后。在实际教学中，笔者会根据不同分层的学生设计难度不同的课堂练习，将其分为I类、II类和III类，每一类有三道练习题，授课中会简单地将题写在黑板上，供不同层级的学生练习使用。
2.课后指导环节。课后指导环节是课堂教学环节的延伸和拓展，其目的是使学生消化基础知识、巩固思维记忆和强化计算能力，通常可以从课后作业、课后辅导、预习新课三个方面进行分层教学实践。课后作业是学生必须按时、按质、保量完成的任务之一，分层教学实践要求教师设计编写难度不同的课后习题，一般针对B、C、D三个层次的学生布置课后作业。例如，D层学生完成考察最基本内容的习题；C层学生完成考察主要内容的习题；B层学生完成具有代表性的习题，而且会布置难度拔高题，确保他们掌握基础知识，且能拓宽学习思维。
课后辅导能体现分层教学法分层次、分类型的鲜明特征，辅导目的是拓宽、加深基础知识的理解和掌握。在实际教学中，针对B、C、D三个层次的学生进行课后辅导，例如，辅导B层的学生，以培养其创新、思维、想象能力为主，同时，在对某一层次的学生进行辅导时，欢迎其它层次的学生旁听，且在辅导过程中注意尊重学生性格，以培养学生的学习品德、热情和兴趣。
预习新课是教学安排中的重要环节之一，高效的预习新课能提高课堂教学效率，使教学过程做到有的放矢。在实际教学中，以“二元一次方程组”为例，笔者的预习任务分层布置如下：A层学生理解课本内容并探索其他解题方法；B、C层学生尽量理解课本内容并带预习问题到课堂；D层学生尝试理解课本内容，这样就增强了学困生的自信心，且真正达到了预习的目的。
分层教学是义务教育和素质教育要求下最合适的教学模式，它不仅能激发学生的学习热情和兴趣，而且还能提高学生的学习积极性和主动性。对于学困生而言，它能有效保护其自尊心，确定自身位置并发奋努力；对于尖子生而言，它能促使尖子生保持学习动力，拓展思维意识和创新能力。由此可见，分层教学能满足不同学生的学习、心理、性格等要求，切实发挥教学效用并培养学生良好的学习习惯。
[1]李丽洁.初中数学分层教学初探[J].科技咨询导报,2007,(1l).
[2]余绍先.初中数学分层教学实践[J].教育科研,2009,(21).
关键词：初中数学；核心素养；转变方法；教育技术
一、注重基础，转变方法
初中生年龄相对较小，缺乏一定的生活阅历，数学知识结构亦不完整，数学素养和抽象思维较为薄弱，因此，对其教学必须注重基础性知识，将最基本的概念、公式、法则等教授给学生，这有助于学生在掌握基本知识点的基础上，理清知识宏观脉络，提升数学问题的解决能力。与此同时，需要革新教学方法，尤其是转变传统的“满堂灌”教学，实现启发性教学、引导性教学，学生在课堂上的主体性也需要进一步加强，这有利于高效提升学生的数学素养。
本部分以知识点“二元一次方程组”为例进行简要分析。笔者在具体教学实践中主要开展了两个阶段。第一阶段，明晰学生当前的实际需求。经过分析，笔者发现这一阶段学生已经掌握了一元一次方程ax+b=0（a≠0）和二元一次方程ax+by+c=0（a、b≠0）的解法，但他们对其具体应用的掌握程度不够，无法有效做到熟练应用。第二阶段，借用数学文化，帮助学生学习和掌握知识点“二元一次方程组”。在教学中笔者运用了数学名题“鸡兔同笼”。起初鼓励学生如何解决这个问题，有学生用算术法、一元一次方程进行了解答，但学生都觉得过程甚为繁琐，笔者趁机引出了“二元一次方程组”这一知识点，并进行了讲解，课堂教学效果显著。
二、结合需求，融通文化
本部分以知识点“中心对称与中心对称图形”为例进行简要分析。在教学实践中，需要注意两个核心：基本知识点的运用、课堂启发性教学模式的确立，在此基础上开展教学。经过分析，发现先前教学中学生已经掌握了轴对称与轴对称图形，这可作为基本知识点运用到教学中，以引出本节课所要教授的知识点。笔者通过提问，魍澄幕“双鱼”剪纸作品是由两个形状、大小完全相同的图案组成的，这两个图案的位置有怎样的特殊关系？怎样改变其中一个图案的位置，可以使它与另一个图案重合？
然后我将课堂还给学生，学生很快发现第一幅作品是轴对称，第二幅作品同样让学生探究它又是如何对称的，从而引入本课题“中心对称与中心对称图形”。这就很好地为本课做了铺垫，学生的心中对新知识的学习有了期待，为顺利完成教学任务做了思维上的准备，从而激发了学生的学习兴趣，感受对称、均衡的美感，有利于培养学生的爱国主义精神，提高学生的核心素养。
三、形象教学，育植思维
数学教学的抽象性和枯燥性，一直是影响学生核心素养提升的因素，因此，在教学中将较为晦涩难懂的概念和法则用一种充满趣味的形式呈现出来，是需要考虑的问题，即坚持形象直观的教学方式，善用情景化教学方式。具体可借助图片、视频等直观教具，或创新授课模式，采用游戏学习等方式。再者，学生“懂得法则，却不会应用”的现状，归根到底是由于学生尚未形成数学思维，教师需要教会学生数学规律，向学生传授数学思想，通过潜移默化的方式培养学生的数学思维。
本部分以知识点“二次函数的图象和性质”为例进行简要分析。在这一部分的教学中，大多数教育者经常会利用喷泉问题进行讲解，传统教学常利用直角坐标系解决问题，较为枯燥，教学效果也不理想。笔者在教学实践中进行了改进，提出了一个问题：喷泉的路线和哪种函数图象相似？然后通过多媒体对这一路线进行了动态演示，这样较为清晰地展现了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的特征，一下子激发了学生的兴趣，笔者借此一步步地引导学生“求出水口的高度”，从而解决问题。这有效使用了形象教学，培养了学生“在生活中发现数学”的思想。
四、借力技术，数字呈现
随着互联网与教育的深度融合，在初中数学课堂中培养学生的核心素养，也需要借助信息技术，实现数字化呈现。具体可从两方面着手：一方面，要充分利用网络获取教学资源，充分开辟教学资源获取的新渠道，尤其是选取适合培养学生核心素养的元素和材料；另一方面，要积极适应互联网时代学生群体学习方式的变化，即由传统的集约式学习转变为碎片化学习，教师需要由原来的课堂主导者转变为引导者，积极开发教学视频，帮助学生学习。