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1、第第33章章动态电路时域分析动态电路时域分析3.1电感元件和电容元件电感元件和电容元件3.2动态电路方程及其解动态电路方程及其解3.3一阶动态电路的零输入响应、一阶动态电路的零输入响应、零状态响应和全响应零状态响应和全响应3.4阶跃函数与阶跃响应阶跃函数与阶跃响应*3.5二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应3.6正弦激励下一阶电路的响应正弦激励下一阶电路的响应3.7小结小结3.1电感元件和电容元件电感元件和电容元件4.1.1电感元件电感元件用良金属导线绕在骨架上就构成一个实际的电感器，常称为电感线圈，如图3.1-1所示。当电流i(t)通过电感线圈时，将激发磁场产生磁通(t)与线圈
3、)的参考方向符合右手螺旋定则，由图4.1-2(a)可知，磁链与电流的关系满足(t)=Li(t)上式称为电感元件的韦安关系式。式中L称为电感元件的电感量。在国际单位制中，磁通和磁链的单位都是韦伯(Wb)，简称韦；电感量的单位是亨利(H)，简称亨；电感量的常用单位还有毫亨(mH)和微亨(H)。通常，电路图中的符号L既表示电感元件，也表示元件参数电感量。(4.1-1)设电感元件的电流i、电压u与感应电动势e的参考方向如图3.1-1所示，且电流i与磁链的参考方向符合右手螺旋定则，则根据电磁感应定律和式(3.1-1)，其感应电动势为ttiLttted)(dd)(d)(3.1-2)而感应电压ttiLt
4、ttetud)(dd)(d)()(3.1-3)该式称为电感元件VCR的微分形式。对式(3.1-3)从-到t进行积分，并设i(-)=0，可得电感元件VCR的积分形式d)(1)(tuLti(3.1-4)设t=0为观察时刻，记t=0的前一瞬间为0,可将式(3.1-4)改写为d)(1_)0(d)(1d)(1)(_0_0_0ttuLiuLuLtit0(3.1-5)式中，i(0-)是t=0时刻电感元件的电流，称为电感起始电流。在电流、电压参考方向关联时，电感元件吸收的功率为ttitLititutpd)(d)()()()(3.1-6)对上式从到t进行积分并约定i()=0，求得电感元件的储能)(21)(
6、3.1-5)中，初始电流i(0-)体现了t=0以前电感电压的全部作用效果，积分项则反映了t=0-以后电压的作用效果。因此，电感电流具有“记忆”电压的作用，电感元件是一种记忆元件。与此不同，电阻元件的电流仅取决于该时刻的电压，是无记忆的元件。d)(1_0tuL(4)式(3.1-7)表明，对于任一电流i(t)，恒有L(t)0，即电感元件是储能元件，它从外部电路吸收的能量，以磁场能量形式储存于自身的磁场中。(5)如图3.1-3所示，若电感上的电压、电流参考方向非关联，则式(3.13)、(3.1-4)、(3.1-5)应改写为d)(1_)0()(d)()(d)(d)(_0ttuLitiuLtitti
7、Ltu图3.1-3电感上电压电流参考方向非关联例例3.1-3.1-1图3.1-4(a)所示电感元件，已知电感量L=2H,电感电流i(t)的波形如图3.1-4(b)所示。求电感元件的电压u(t)、吸收功率p(t)和储能L(t)，并画出它们的波形。解解写出电流i(t)的数学表达式为0A5.05.1A)(ttti其余stsst3110电流、电压参考方向关联，由电感元件VCR的微分形式，得0V1V2d)(d)(ttiLtus其余stsst31100W5.15.0W2)()()(tttitutp其余stsst3110将i(t)、u(t)表达式代入式(3.1-6)，得将i(t)表达式代入式
8、(3.1-7),求得0J)5.05.1(J)(21)(222tttLitwL其余stsst3110画出u(t)、p(t)和L(t)的波形如图3.1-4中(c)、(d)、(e)所示。由波形图可见，电感电流i和储能L都是t的连续函数，其值不会跳变，但电感电压u和功率p是可以跳变的。在图(d)中，p(t)0期间，表示电感吸收功率，储藏能量；p(t)0期间，表示电感供出功率，释放能量；两部分面积相等，表明电感元件不消耗功率，只与外电路进行能量交换。图3.1-4例3.1-1用图3.1.23.1.2电容元件电容元件电容器是最常用的电能储存器件。在两片金属极板中间填充电介质，就构成一个简单的
9、实际电容器，如图.1-5所示。接通电源后，会在两个极板上聚集起等量的异性电荷，从而在极板之间建立电场，电场中储存有电场能量。此时，即使移去电源，由于极板上电荷被介质隔离而不能中和，故将继续保留，电场也继续存在。因此，电容器具有储存电场能量的作用。应用电荷与电压的关系(习惯上称为库伏关系)，来定义电容元件。图3.1-5电容器元件在电容上电压参考极性与带正、负电荷的极板相对应时，由图.1-6(a)可知，电荷量q(t)与其端电压u(t)的关系满足q(t)=Cu(t)(3.1-8)图3.1-6线性时不变电容元件的库伏关系及电路模型上式称为电容的库伏关系式。式中C称为电容元件的电容量，单位为
10、法拉(F)，简称法。1法=106微法(F)=1012皮法(pF)。通常，电路图中的符号C既表示电容元件，也表示元件参数电容量。在电路分析中，一般关心的是电容元件上的电压、电流关系和储能。若设电容电压、电流参考方向关联，则有ttuCttqtid)(dd)(d)(3.1-9)对上式从到t进行积分，并设u()=0,可得tiCtud)(1)(.1-10)式(3.1-9)和(3.1-10)分别为电容元件VCR的微分形式和积分形式。设t=0为观察时刻，并记t=0的前一瞬间为0，式(3.1-10)可改写为d)(1_)0(d)(1d)(1)(_0_0_0ttiCuiCiCtu(3.1-11)式中_0d
12、容电压是不会跃变的；当电容电压为直流电压时，则电流i=0，即电容对于直流而言相当于开路。(3)电容VCR的积分形式表明：任意时刻，电容电压u(t)均与t时刻电流及该时刻以前电流的“全部历史”有关。或者说，电容电压具有“记忆”电流的作用，故电容元件是记忆元件。(4)由式(3.1-14)可知，电容元件也是储能元件，它从外部电路吸收的能量，以电场能量形式储存于自身的电场中。(5)如图3.1-7所示，若电容电压、电流的参考方向非关联，则式(3.1-9)、(3.1-10)、(3.1-11)应改写为d)(1_)0()(d)(1)(d)(d)(_0ttiCutuiCtuttuCti图3.1-7电容上电
13、压电流参考方向非关联例例3.1-2电路如图3.1-8所示，已知iC(t)=e-2tA(t0),uC(0)=2V，求t0时的电压u(t)。V)e1012()1(e102de05.012d)(1_)0()(22_02_0ttttCCCiCutu解解首先，根据电容元件VCR的积分形式，求得由欧姆定律，计算电阻电流：A)e56(2e1012)()(22ttCRRtuti然后，应用KCL，求得电感电流为A)e46(e)e56()()()(222tttCRLtititi依据电感元件VCR的微分形式，计算电感电压：Ve8e1d)(d)(22ttLLttiLti最后，应用KVL，得到电压为V)
14、e212()e1012(e8)()()(222tttCLtututu图.1-8例3.1-2用图3.1.3电感元件和电容元件的串并联等效电感元件和电容元件的串并联等效图4.1-9(a)是n个电感相串联的电路，流经各电感的电流是同一电流i。根据电感元件VCR的微分形式，第k(k=1,2,n)个电感的端电压为tiLukkddk=1,2,n(3.1-15)由KVL，得端口电压tiLtiLLLuuuunndddd)(2121(3.1-16)图3.1-9电感串联图3.1-10(a)是n个电感相并联的电路，各电感的端电压为同一电压u。根据电感VCR的积分形式，有d)(1tkkuLik
15、=1,2,n(3.1-19)由KCL,得端口电流d)(1d)(1112121ttnnuLuLLLiiii(3.1-20)式中nkknLLLLL12111111(3.1-21)L称为n个电感并联的等效电感。由式(3.1-20)画出其等效电路如图3.1-10(b)所示。由式(3.1-20)或者等效电感VCR的积分形式可得Liutd)(将上式代入式(3.1-19),得各电感电流与端口电流的关系为iLLikki=1,2,n(3.1-22)图3.1-10电感并联图3.1-11(a)是n个电容相串联的电路，流经各电容的电流为同一电流i。根据电容VCR的积分形式，有d)(1iCutkkk=1
16、,2,n(3.1-23)应用KVL,经推导可求得n个电容相串联的等效电容C，其倒数表示式为nkknCCCCC12111111(3.1-24)相应等效电路如图3.1-11(b)所示。图3.1-11电容串联再将等效电容VCR的积分形式写成Cuitd)(代入式(3.1-23)，求得各电容电压与端口电压的关系为uCCukkk=1,2,n(3.1-25)图3.1-12(a)是n个电容相并联的电路，各电容的端电压是同一电压u。根据电容VCR的微分形式，有tuCikkddk=1,2,n(3.1-26)应用KCL，经推导可求得n个电容并联的等效电容C为nkknCCCCC121(3.1-27)相
18、duCiCRC,sCCuRCuRCdtdu11由于将它们代入上式，并稍加整理，得（3.2-1）对回路A列KVL方程，有图3.22RL并联电路)()()(tititisLRdtdiLuRuCiLLL,sLLiLRiLRdtdi图3.2-2所示RL并联电路，以电感电流iL(t)作为电路的响应，根据KCL,有由于将它们代入上式，整理后可得（3.2-2）图3.23RLC串联电路图3.2-3所示RLC串联电路，若仍以电容电压uC(t)作为电路响应，根据KVL可得)()()()(tutututusCRL由于22dddd,dd,ddtuLCtiLutuRCRiutuCiCLCRCsC
19、CCuLCuLCdtduLRdtud1122一般而言，若电路中含有n个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是n阶的，称为n阶电路。将它们代入上式，经整理得3.2.2动态电路方程解动态电路方程解1.初始值的计算动态电路的初始值即是动态电路在发生换路后瞬间响应的各阶导数值。若发生换路的时刻记为t0，常取t00。0+表示换路后瞬间，0表示换路前瞬间。设电路响应为y(t)(或电流响应或电压响应)，电路初始值即指y(0+)、y(0+)、，一阶动态电路有意义的初始值就只有y(0+)一个，二阶电路的初始值有y(0+)、y(0+)两个，依此类推，n阶电路的初始值应有n个。由(3.1-5)式和(3.
20、1-11)式可分别写得t0+时刻电感电流和电容电压为0000d)(1)0()0(d)(1)0()0(tLLLCCCuLiiiCuu（3.2-4）)0()0()0()0(LLCCiiuu图3.24例3.2-1用图例3.2-1如图3.2-4(a)所示电路已处于稳态，t0时开关S打开，求初始值uC(0+)、i1(0+)、iC(0+)和u2(0+)。解(1)计算独立初始值uC(0+)。先计算uC(0)。由于开关打开前电路处于直流稳态，由前述结论知，在t0时刻视电容为开路，所以V68626)0(s212URRRuCV6)0()0(CCuu(2)画t0+时刻的等效电路如图3.2-4(b)所示(
21、注意电容C用6V电压源替代)。V6.36466)0()0(A6.0466)0()0(0)0(3222321CCCuRRRuRRuii(3)计算欲求的各非独立初始值。由图3.2-4(b)电阻电路可知图4.25例4.2-2用图例3.2-2如图3.2-5(a)所示电路，t0时,开关S处于位置1,且电路已达稳态。在t0时,开关S切换至位置2，求初始值iR(0+)、iC(0+)和uL(0+)。图3.2-5例3.2-2用图解本问题中要求的初始值都是非独立初始值，但也必须先求独立初始值。若原题中电容上无电压参考方向、电感上无电流参考方向，解题者应先设上参考方向，再按求初始值的三个步骤求解下
22、去。设uC、iL参考方向如图3.2-5(a)中所标。V12)0()0(4)0()0(CCLLuuAii所以由换路定律，得(1)计算独立初始值uC(0+)、iL(0+)。由于t0时电路已达直流稳态，所以t0时电容视为开路，电感视为短路，如图3.2-5(b)所示。应用电阻并联分流公式及欧姆定律分别计算，得V1243_)0(3_)0(A410322_)0(LCLiuiV04312)0(3)0()0(A7)34()0(A34124)0()0(LCLCCRiuuiui(2)画t0+时的等效电路如图3.2-5(c)所示(注意C用12V电压源替代，L用4A电流源替代)。(3)计算非独立初始值。由欧姆定
23、律、KCL、KVL分别求得各非独立初始值为2.微分方程经典解法如图3.2-6所示电路已处于稳态，t0时开关S由a切换至b，求t0时电容电压uC(t)，电流iC(t)(设图中UsU0)。为了概念上更清晰，采用定性讨论与定量分析相结合求解。图3.2-6一阶RC电路1)定性分析t0，开关S合于a，U0电压源给电容C充电。由题意知电路已达稳定，即是说给C充满了电，t0时电压uC()U0，电容上电荷q(0)CU0，电流iC(0)0。t0+，开关S合于b，Us电源接着再对电容C充电(因UsU0)。再看几个特定时刻：(1)t=0+,由换路定律知(2)t,电容上电荷在原有的基础上增多，即q(t)，电容电
24、压随之升高，即uC(t)，电流(3)t=,Us又给电容C充满了电。此时q()=CUs，uC()=Us，iC()=0，显然电容C上电压最终上升到Us，电流最终下降至0。2)定量分析换路后的电路如图3.2-7所示。由图中所设出的各电压、电流参考方向，应用各元件上的VCR和KVL，列写出的方程为(3.2-5)图3.2-7t0+时Us对C充电电路(uC(0+)=U0)定性讨论中已求得解(3.2-5)式所需要的初始条件：uC(0+)=U0由数学知识写(3.2-5)式对应的特征方程解得特征根于是(3.2-5)式的解为(3.2-6)数学中知道：微分方程的特解具有与激励源相同的函数形式。因激励源Us是
26、的，所以也称它为自由响应;()部分对应数学解的特解，函数形式受限于电路激励源的函数形式，称这部分为电路的强迫响应，或理解为这部分响应是电路在激励源的“强迫”下所作出的响应。理论上讲当t时暂态过程才结束，而实际工程中，当t(35)时就近似认为暂态过程已结束，达到了稳定状态。结合上例，若t3、5时再改写(3.2-9)式(3.2-12)观察(3.2-12)式可以看出：()部分只与U0有关,即只与电路的初始状态有关，与激励源Us无关，称为零输入响应；()部分只与激励源Us有关，与电路初始状态无关，称为零状态响应。3.直流电源作用一阶动态电路的三要素法对于一般的直流电源作用的一阶RC或一阶RL动态电路
27、，均可从动态元件两端作戴维宁定理等效或诺顿定理等效，如图3.2-9(a)、(b)所示。图3.2-9(a)中R0、Uoc分别为N1网络的戴维宁等效内阻与开路电压，图3.2-9(b)中R0与Isc分别为N2网络的诺顿等效内阻与短路电流。图3.2-9一阶RC、RL电路等效对图3.2-9(a)、(b)分别应用KVL、KCL列写方程(3.2-13)(3.2-14)将(3.2-13)式、(3.2-14)式与(3.2-5)式对照比较，可以看出它们具有相同的方程结构形式。为了方程的求解更具有一般性，抽去它们各自具体元件参数的物理意义，概括为更数学化的一般方程形式。若电路响应、激励分别用y(t)、f(t)表
32、RL电路的零输入响应如图3.3-2(a)所示一阶RL电路已处于稳态，t=0时开关S由a切换至b，求t0时的电流iL(t)和电压uL(t)。图3.3-2一阶RL电路的零输入响应例3.3.2一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应1.一阶RC电路的零状态响应如图3.3-3(a)所示电路已处于稳态，t0时开关S由a切换至b，求t0时的电压uC(t)和电流i(t)。图3.3-3一阶RC电路的零状态响应例观察图3.3-3(a)所示电路，开关S与a相接时是电容放电电路，t=0时处于稳态意味着电容C放电完毕，即q(0)=0，uC(0)=0，wC(0)=0，电路初始储能为零，或称为电路处于零状态。开
36、的，这种分解形式因果关系明确，物理概念清晰，是现代电路理论学习、研究中使用最多的一种全响应分解形式。例3.3-1如图3.3-5(a)所示电路已处于稳态，t=0时开关S由a切换至b，求t0+时的电压u(t)的零输入响应ux(t)、零状态响应uf(t)及全响应u(t)，并画出它们的波形图。图3.3-5例3.3-1用图解设电流iL的参考方向如图3.3-5(a)中所标。由题意知t=0时电路已处于直流稳态，L相当于短路，所以应用电阻并联分流公式，得由换路定律知(1)计算零输入响应ux(t)。当t0+时，令输入为零(将12V电压源短路)的电路如图3.3-5(b)所示。3个要素显然容易求得，分别
37、为利用三要素公式，得再应用电阻并联等效及欧姆定律，算得例3.3-2如图3.3-6(a)所示为含受控源的电路已处于稳态，t=0时开关S由b切换至a，求t0时的电压uC(t)和电流i(t)，并画出波形图。解本例为含有受控源的一阶动态电路，一般在用三要素法求解之前先要将电路中含受控源部分用戴维宁定理等效，如图3.3-6(b)所示电路，由KVL得(2+6)i+4i=12解得i=1A故开路电压为uoc=6i+4i=10i=10V将图3.3-6(b)中a、d端短接并设短路电流isc如图3.3-6(c)电路所示，由于i=122=6A,所以等效电阻画出图3.3-6(a)所示电路的等效电路,如图3.3
38、-6(d)所示。图3.3-6例3.3-2用图(1)应用三要素法求uC(t)。由图3.3-6(d)所示电路分别求得uC(0+)=uC(0)=6VuC()=10V=R0C=10.1=0.1s利用三要素公式，得(2)回到图3.3-6(a)求电流i(t)。应用KVL求得电流画uC、i的波形如图3.3-7(a)、(b)所示。图3.3-7例3.3-2电路中uC、i的波形图例3.3-3如图3.3-8(a)所示电路已处于稳态，t0时开关S闭合，求t0时的电压u(t)。解设iL、uC、u1、u2的参考方向如图3.3-8(a)中所标。由题意知图3.3-8(a)所示电路在t0时刻处于直流稳态，将L
39、看做短路，将C视为开路，所以容易求得iL(0)=0，uC(0)=1(6+4)=10V对求t0+时的u1、u2，应用对短路线压缩、伸长变形等效将图3.3-8(a)等效为图3.3-8(b)；再依据替代定理将图3.3-8(b)分别等效为图3.3-8(c)(对求u1等效)、(d)(对求u2等效)。图3.3-8例3.3-3用图3.4阶跃函数与阶跃响应阶跃函数与阶跃响应3.4.1阶跃函数阶跃函数单位阶跃函数用(t)表示，其定义为(3.4-1)式中，符号。(t)波形如图3.4-1所示。它在t0时恒为0，t0+时恒为1。t=0时则由0阶跃到1，这是一个跃变过程，其函数值不定。从数学上看，t=0为
41、函数可以作为开关动作的数学模型，因此(t)也常称为开关函数。图3.4-3用(t)表示开关动作阶跃函数的另一个重要应用是以简洁的形式表示某些信号。如图3.4-4(a)所示矩形脉冲信号，可以看成是图3.4-4(b)、(c)所示两个延迟阶跃信号的叠加，即f(t)=f1(t)f2(t)=A(tt1)A(tt2)=A(tt1)(tt2)图3.4-4用(t)表示矩形脉冲信号依据上例叠加单位阶跃函数移位加权代数和的思想，用阶跃函数还可以简洁表示“台阶式”或称“楼梯式”的更为复杂的信号，如图3.4-5(a)、(b)中的f1(t)、f2(t)，不必画叠加过程图即可写出用(t)简洁表示的形式，即f1(t)
43、以将f(t)乘以(t)，如图3.4-6(b)所示。如果要求f(t)在区间(t1，t2)上的信号起作用，那么只需将f(t)乘以(tt1)(tt2)即可，如图3.4-6(c)所示。图3.4-6用(t)表示信号的作用区间3.4.2阶跃响应阶跃响应电路在单位阶跃函数激励下产生的零状态响应定义为单位阶跃响应，简称为阶跃响应，以符号g(t)表示。用数学式描述这一定义可表示为g(t)=yf(t)|f(t)=(t)(3.4-4)单位阶跃函数(t)作用于电路相当于单位直流源(1V或1A)在t=0时接入电路，因此对于一阶电路，阶跃响应g(t)仍可用三要素法求解。若用下列符号表示激励与零状态响应之间的关
46、2)C=(6+4)0.02=0.2s利用三要素公式，得(2)将信号分解，即is(t)=2(t)2(t2)，由齐次性、时不变性及叠加性，显然uCf(t)=2g(t)2g(t2)=12(1e5t)(t)121e5(t2)(t2)V例3.4-2如图3.4-10(a)所示电路，已知R1=6，R2=4，L=1.2H。(1)以us为激励(输入)，以i为响应(输出)，求该电路的阶跃响应g(t)；(2)若us为如图3.4-10(b)所示的波形，求零状态响应if(t)。图3.4-10例3.4-2用图解(1)用三要素法求g(t)。令us(t)=(t)V，并考虑零状态条件及阶跃响应定义，因零状态，t
48、=uC(0)=U0i(0+)=i(0)=0将设定的、0参数代入(3.5-1)式并加注上确定的初始条件，有(3.5-2)从图3.5-1电路看，对于t0+时电路中无任何输入，所以响应为零输入响应。从(3.5-2)式看，它是二阶常系数齐次微分方程，响应一定是与齐次解的函数形式相同。不管几阶的动态电路，其电路的零输入响应函数形式与微分方程齐次解的函数形式相同，这是带有共性的结论。(3.5-2)式的特征方程为2+2+20=0其特征根为(3.5-3)特征根1，2仅与电路结构和元件参数有关，而与激励和初始储能无关，通常称为电路的固有频率，其值可能为实数或复数。当R、L、C取不同值时，电路的固有频率及相应的零
49、输入响应存在3种不同情况，下面将分别讨论。在讨论之前先给出二阶电路齐次解的各种形式，如表3.5-1所示，以供在讨论各种情况的零输入响应时对照选用。3.5.10(R24L/C)，过阻尼情况过阻尼情况此时,固有频率1，2为不相等的负实数，称为过阻尼情况。令特征根(3.5-4)由表3.5-1得(3.5-2)式的解为式中A1、A2为积分常数。将初始条件代入上式，得(3.5-6)由(3.5-6)式解得将A1、A2代入(3.5-5)式，得(3.5-7)由电容上的电流、电压微分关系，得(3.5-)由(3.5-7)式、(3.5-8)式画得uC(t)、i(t)的波形如图3.5-2所示。图3.5-2过阻尼时
50、uC(t)和i(t)的波形在ttm时，电感储能达到最大。在这期间，电容释放的能量，一部分被电阻R所消耗，另一部分转换成磁场能量存储于电感中。当ttm时，uC(t)下降趋缓，回路放电电流绝对值减小，这期间电容、电感均释放能量供电阻消耗，直到t,放电过程结束，uC()0，i()0，原储存于动态元件上的能量在整个放电过程中被电阻R消耗尽。放电电流绝对值达到最大的时刻tm可用求函数极值的方法确定。令di/dt=0，经整理有解得3.5.2=0(R2=4L/C)，临界阻尼情况临界阻尼情况此时，固有频率1和2为相等的负实数，即1=2=查表3.5-1，可知此种情况uC的通解为uC(t)=(A1+A2t)et