逆向思维能力的培养方法范文

导语：如何才能写好一篇逆向思维能力的培养方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

DiscussiononTrainingofReverseThinkingofMathematicsTeaching

Abstract：ReverseThinkinghasveryimportantapplicationsinmathematicsteaching，whichprovidesagreathelpfortrainingstudents’thinkingability，andimprovingtheinnovationanddevelopmentcapacity.Fromthelogicofreversethinking，thisarticlediscusstheconcretemanifestationofreversethinkingabilityinmathematicsTextbooksandmathematicsteaching.

Keywords：reversethinking；mathematicsteaching；logicrelationship；application

1逆向思维的逻辑关系

“反其道而思之”是逆向思维的精髓，即从事物发生的对立面或者结果对事物进行分析，从问题结论出发对问题进行探索的思维方式。逆向思维是与正向思维相对立的，其将正向思维认知的事物在思维上向对立面方向发展，打破习惯性的沿着事物发展的方向去思考和分析事物，而是从事物产生的结果或者效应反向思考和推断事物和结果之间的辩证效应，尤其面对一些特殊问题，从结论反向推断，逆向思考，反而会使问题简单化[1-3]。逆向思维的优点在于行业需求的普遍性、对正向思维的批判性和思维方式的新颖性，逆向思维的培养往往会增强你对事物认知的兴趣，提高自身开拓能力和创新能力，试想一下，当大多数人以习惯性的正向思维方式去看待事物或思考问题，而你运用逆向思维方式思考和解决问题，以“出奇”达到“制胜”，这种效果就会使你在行业竞争、就业选择中脱颖而出。

数学中逆向思维的应用可以分为宏观逆向思维方法和微观逆向思维方法。从辩证唯物主义来讲，事物都是对立存在的，往往互为因果，这就为分析和思考事物提供了两种思维方法――正向思维方法和逆向思维方法，宏观逆向思维方法就是从事物的辩证特性出发，突破思考框架、摆脱思维定律，形成用逆向思维去解决数学问题的思维认知，欧几里得的《几何原本》就是宏观逆向思维的产物。微观逆向思维方法是针对性解决一个数学问题，数学证明中的反证法、举反例法都是逆向思维的体现。

2数学教学中的逆向思维培养

学生逆向思维的培养对于提高学生创新能力、培养学生兴趣爱好、加强对事物的认知能力至关重要。在数学教学中，除了学生正向思维的培养外，要消除思想束缚，大胆尝试和训练学生的逆向思维能力，在数学教学中加强对学生逆向思维的培训，养成逆向思维思考问题的习惯，并且与正向思维相结合，双向思维进行数学问题的理解和思考，是培养学生数学能力的一种体现，更是培养学生创造性思维的一种重要途径。

2.1数学定义的正、逆思维理解

学生对数学定义的理解即是一个对新事物认知的过程，在数学教学过程中，由于老师往往以正向思维方法对数学定义进行阐述，学生对数学定义的理解仅停留在数学定义的字面意思，而缺少对定义深部的挖掘和理解。在教学过程中利用正、逆思维对学生进行数学定义的分析和讲解，列举反例，引导学生利用定义进行反向思考，判别异同和是非，培养学生的逆向思维能力。

例1：已知函数是R上的单调递减的奇函数，若，求a的取值区间？

解答：

变形为

是奇函数

，根据奇函数定义

又函数递减，

解得

2.2数学公式、法则的逆向推断

例2：已知，，求的值？

解答：=27/16

该题运用的主要为同底数幂除法性质和幂的乘方性质，逆向思维进行计算，不仅提高了运算速度，而且对结果的正确性更有把握，如果利用正向思维进行解答，这道题无从下手。类似题目的练习不仅提高了对公式、法则的认识和熟练程度，还在很大程度上培养了学生逆向思维的能力。

2.3数学解题方法中正、逆思维的运用

数学是一门灵活学科，对于数学问题的解答存在多种方式，但归结起来就是正向解题和逆向解题方法，其中逆向解题法主要有逆推分析法，间接法，（排除法），等，逆推法主要运用与条件证明结论的数学问题中，反证法是经典的逆向解题方法，而间接法主要运用在选择题中。

1.逆推法的运用，对于条件推断结论的数学问题来说，从仅有的条件出发，数学问题往往不知从哪下手，很容易出现思维瓶颈，造成结论解答的困难。而逆推法是从结论出发，逆向推断结论产生所需的条件，这样往往可以简化问题，明确解题思路，并且能培养学生的逆向思维能力和解答类似数学问题的兴趣。

2.反证法的运用，首先假设结论不成立，然后利用已有的定义、公式或者法则证明结论的不成立与题目条件相矛盾，从而证明命题成立。该方法是一种很实用的证明数学命题方法，并且对培养学生逆向思维能力有很大帮助。

例3：证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度。

反证法解答：假设命题不成立，即三角形三个内角都大于60度；

则三个内角和必然大于180度；

这与定理“三角形内角和等于180度”相矛盾；

所以假设不成立，故原命题得证。

例4：当b=1时，关于x的方程有无数多个解，则a等于（）

A：2；B：-2；C：-2/3；D不存在

3逆向思维培养的保障

学生逆向思维的培养关键在于数学教学中逆向思维的日常培训，如何保障学生逆向思维的培养是数学教学需要探讨的重要问题。学生逆向思维的形成与提升主要受到周边环境的影响，这些环境包括教师教育理念、学校学习氛围、学生兴趣培养等等，不同环境影响下的学生对数学理念的认识、问题的处理和兴趣的培养有着不同的见解程度，这对学生随后的学习和生活起到很大程度的影响。数学逆向思维的培养，教师的教育理念至关重要，因为学生的思维方法受到老师的影响程度深，先进的教育理念重视运用正、逆思维思考和解决数学问题，尤其在数学定义、公式和法则的认识和讲解中，重视逆向思维的运用，并且在日常训练中，有意加深对逆向思维的练习。学校学习氛围是培养学生运用逆向思维思考兴趣的平台，学校注重学生的逆向思维培养，构建逆向思维训练对象和竞赛，培养学生的逆向思维兴趣。

4结论

数学教学中逆向思维的培养，对提升学生学习兴趣，激发学生创新能力和思维能力，对学生的学习和生活具有重要意义。培养学生的正、逆思维能力，可以在解答数学问题的时候，寻求更便捷的解题思路，克服了学生正向思维的固定思考模式。学生逆向思维的培养是个复杂过程，注重数学教学中逆向思维的培养，充分认识到逆向思维的学生思想、创新能力的重要性，从数学学习的兴趣培养中构建学生的逆向思维体系。

参考文献

[1]刘汉民.论逆向思维[J].重庆工学院学报，2005，19（9）：96-100

[2]李福兴，盘荣华.数学中的逆向思维方法[J].数学教学研究，2009，28（7）：62-64

[3]许娟娟.数学教学中逆向思维能力及其培养[J].基础教育研究，2012，（3）上：44-46

[4]赵景伦.数学解题中逆向思维的培养途径[J].数学教学通讯，2003，（8）：39-40

关键词能力培养；逆向思维；解题方法

逆向思维是指与正常思维正好相反的一种思维方式。在教学中，逆向思维是指从结论逆向一步步找出结论需要具备的条件，从而达到解决问题的目的。逆向思维具有极其严密的逻辑性、推理性，能更好地培养学生的逻辑思维能力。在初中数学教材中有着大量互逆关系的数学知识，如互逆公式，互逆法则，互逆定理等等。在教学中，培养学生运用逆向思维解决实际问题的能力，必须加深学生对互逆关系的理解与分析，从而不断培养学生的逆向思维灵活性，从正向思维向逆向思维的持续能力。

平时与数学老师交流和本人三十多年的数学教学实践表明，要培养学生的正向思维能力，更要培养学生的逆向思维能力。正向思维从习惯上可牢记和掌握，在头脑中有正向模式，而逆向思维的形成对学生是一个难题。教学时需对所学的运算知识，形成逆向模式。所以，教学前要精心设计，让学生从正向接受逆向的思维的基本训练。在初中数学实际教学中怎样培养学生逆向思维的能力呢？

一、利用初中数学课本中大量的互逆知识培养学生的逆向思维能力

一、培养逆向思维能力是数学教学的重要任务

逆向思维是科学发现的重要方法之一，许多数学结论都是通过这种方法得到的。在数学科学发展史上，不乏运用逆向思维取得成功的事例。如《几何原本》问世后，证明欧氏第五公设的难题曾烦恼数学家达两千年之久，后来还是罗巴切夫斯基与鲍耶大胆引用一条与第五公设完全相反的命题，各自独立地发现了非欧几何的广阔天地。由于逆向思维的结果具有不确定性和多值性，也就是发散性，所以这种结果更广泛，更深刻，更具有创造性。

另外现在社会的各个领域也处处存在着逆向思维过程。比如在人际关系上，在处理人和人之间矛盾的时候，提倡换位思考，这可以加强人和人之间的相互理解，这其实就是把逆向思维用到处理人事关系上。在商业界，公司都比较保守，它们向消费者提品，却从来不透露这些产品是怎么做出来的。竞争者需要根据其产品，研究出其制造方式。具有逆向思维能力的人，能够根据一种产品比如一粒药片，研究出其中的成分和配方，并经过改进可以造出更好的药。

因此，一个不具备逆向思维能力的人是很难适应当今社会发展需要的。数学教学担负着培养学生思维能力的重要任务，要学好数学学科，无论是学习理论，还是掌握数学知识，解答习题，应用知识，自始至终都存在着积极的思维活动。而逆向思维是思维的一种方式，所以，在数学的教学过程中应努力培养学生掌握各种逆向思维的方法，提高逆向思维的能力，这对学生当前的学习和今后适应社会的需要都具有十分重要的意义，因此，培养逆向思维能力是数学教学的重要任务。

二、挖掘数学基础知识中的逆向思维素材，培养逆向思维能力

在数学教学过程中要善于挖掘数学基础知识中的逆向思维训练素材，并充分利用这些素材，创设问题情境来培养学生的逆向思维能力。

1．定义教学中逆向思维能力的培养

数学概念都是充要条件，均为可逆的。它是通过揭示其本质属性来定义的。如果说由本质属性引出概念的思维过程是正向思维，那么由概念得出其本质属性的思维过程就是逆向思维。因此数学中的定义都有双向性，许多学生习惯于定义的正向应用，而忽视定义的逆向应用。在教学中，为了使学生深刻理解定义，使定义发挥更大的作用，就必须强化定义的逆用，这不仅会达到使问题解答简捷的目的，而且对培养学生的逆向思维能力也是很有好处的。

例1：已知奇函数f（x）在定义域（-1，1）内单调递减，且f（1-a）+f（1-a2）＜0，求a的值集。

分析：由f（x）的定义域，可得：

-1＜1-a＜1

-1＜1-a2＜1

解得：0＜a＜■①

逆用奇函数的定义得：f（1-a2）=-f（a2-1）

又由已知不等式得：f（1-a）＜-f（1-a2）

从而：f（1-a）＜f（a2-1），

于是逆用减函数的定义得：1-a＞a2-1

解得：-2＜a＜1②

故由①②可得a的值集为：{a|0＜a＜1}

例2：设f（x）=8x-22x+1，求f-1（0）。

分析：常见的方法是，先求出反函数f-1（x），然后再求f-1（0）的值。但只要我们逆用反函数的定义，令f（x）=0，解出x的值为1，即为f-1（0）的值。所以f-1（0）=1。

2．公式教学中逆向思维能力的培养

例3：计算sin14°cos16°+cos14°sin16°的值。

分析：因为14°、16°都不是特殊角，显然直接计算是较繁的，如果引导学生逆向应用公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，问题便得到解决。

原式=sin（14°+16°）=sin30°=■

例4：求证：2csc2α=■。

分析：可从右边出发逆用有关公式逐步推到左边。右边=■（逆用公式1+tan2α=sec2α）

=■（逆用公式tanαcotα=1）

=■=tanα+cotα

=■+■=■

=■=■=2csc2α=左边

3．定理教学中逆向思维能力的培养

定理是已经证明具有正确性、可以作为原则或规律的命题，因此，任一定理都有逆命题。不是所有的定理的逆命题都是正确的，引导学生探究定理的逆命题的正确性，既能使学生正确理解数学命题结构之间的关系，又培养了学生善于从相反方向去观察、分析问题的逆向思维能力，并且能使学生学到的知识更加完备，而且还能激发学生去探索新的知识。如在立体几何中，许多性质与判定都有逆定理。例如，平行平面的性质与判定、三垂线定理和三垂线的逆定理等，注意它的条件与结论的关系，加深对定理的理解和应用。又如求证Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n，可思考是否与二项式定理有关？如何使n项变为一项？很快发现逆用二项式定理便可得Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=（1+1）n=2n。另外重视逆定理的教学对开阔学生的思维视野，活跃思维都大有益处。

三、运用解证数学题的几种典型思维方法，培养逆向思维能力

数学题的解证方法有多种，在数学教学过程中要充分利用其中的几种典型思维方法，不失时机地对学生进行训练来培养学生的逆向思维能力。

1．分析法教学中逆向思维能力的培养

数学中的许多问题，要得到的结论是很明显的，但困难往往是不知道从哪里起步，如何达到这个结论。这时最好的办法就是逆向思考，从结论出发，逐步追溯充分条件，直追溯到题目所给条件为止，其实质是“由果寻因”，这就是分析法。这是一种非常典型的逆向思维过程，也是数学解题中一种常用的方法。

例5：某市有100名学生参加围棋比赛，采用输一场即被淘汰的单淘汰赛，轮空者为当然胜者，每场比赛都得定出胜负，请问：共需要进行多少场比赛，才能选出冠军？

分析：本题从目标正面直接求解，计算繁难，容易出错，但如果改从目标反面入手，即去计算产生99名被淘汰者的比赛场数就比较容易求解。因为按比赛规则，每比赛一场就产生一名被淘汰者，100人参赛，选出冠军一人，就相当于要产生99名被淘汰者，所以共需要比赛99场。

例6：已知正数a、b、c成等差数列，求证：a2-bc、b2-ac、c2-ab也成等差数列。

分析：要证原结论成立，只需证2（b2-ac）=a2-bc+c2-ab，即证2b2+（a+c）b=（a+c）2。又2b=a+c，所以上式成立，于是原结论成立。

2．反证法教学中逆向思维能力的培养

中国古代有一个很著名的“道旁苦李”的故事，蕴含着反证法的思想。故事说王戎小时候爱和小朋友在路上玩耍。一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，并说李子是苦的。等到小朋友摘了李子一尝，原来真是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。”这则故事中王戎的论述，也正是运用了反证法。

反证法是数学中很重要的一种证题法，它首先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，然后从这个假设出发，通过正确的逻辑推理推导出一个错误结果，从而导致矛盾，最后判定其矛盾的产生是假设不成立所致，最终肯定命题的结论正确。实际上，反证法是先证明原命题的否定为假，所以其思维方法可以说是双重的逆向思维。适当地运用反证法，既能提高解题的灵活性，又能培养思维的活跃性，促进思维的发展。

例7：求证■是无理数。

分析：假设■是有理数，则不妨设■=■（m、n为互质正整数），从而：（■）2=3，m2=3n2，可见m是3的倍数。

设m=3p（p是正整数），则3n2=m2=9p2，

可见n也是3的倍数。这样，m、n就不是互质的正整数（矛盾）。

■=■不可能成立，■是无理数。

3．反例教学中逆向思维能力的培养

在数学中，肯定一个命题需要严格的逻辑推理来证明，否定一个命题，则只需举出一个例子予以否定，这种例子就是反例。反例在数学发展中和证明一样占着同样重要的地位，这是因为在数学问题的探索中，猜想的结论未必正确，要说明正确则需要严格证明，要说明错误只需举一个反例。数学史上著名的尺规作图的三大难题，即三等分角问题、立方倍积问题、化圆为方问题，就是通过反例证明其不可能的。利用举反例可以判定一个命题是假命题。反例不仅能够帮助学生深入地理解定理的条件与结论，而且还能培养学生的逆向思维能力。因此在数学教学中必须重视反例的构造，反例必须具备命题的条件，却不具备命题的结论，从而说明命题是错误的。

例如，对于有理数和无理数这两个概念的区别，学生往往根据表面现象来判定一个数是有理数还是无理数，认为一个含有无理数的式子的组合就是一个无理数。这样的错误，可通过应用反例加以纠正。比如（■+■）（■-■）就不是一个无理数，因为它的值为1。又如，函数y=f（x）在点x有导数，则必在点x连续，但反之未必成立。可举反例，如函数y=|x|，它在x=0点连续，但在该点却没有导数，用此例简洁而明确地说明了函数在一点连续是在该点有导数的必要条件，而不是充分条件。

4．排除法教学中逆向思维能力的培养

对于那些正面情况比较复杂、较难入手而反面却比较简单的问题，可逆向考虑其反面，从反面入手解决问题，这种解决问题的方法就是排除法。排除法不仅是一种有效的解题方法，而且还能培养学生的逆向思维能力。

例8：15件产品中有3件次品，从中任取5件，至少有1件是次品的取法有多少种？

分析：此题从正面着手，分类进行，问题可解决，但比较繁琐。但若逆向考虑，用排除法从取出的总种数中减去不符合条件的种数，剩余的就是符合条件的种数，则较为简便。即C155-C125=3003-792=2211。

例9：若方程x2-ax+4=0，x2+（a-1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0中至少有一个方程有实根，求a的取值范围。

分析：若从正面着手，非常繁琐，但若从反面入手，考虑其否定的命题“三个方程都没有实数根”，则可得：

Δ1=a2-16＜0Δ2=（a-1）2-64＜0Δ3=4a2-4（3a+10）＜0

解得：-2＜a＜5

即当且仅当-2＜a＜5时，三个方程均无实根。

因此，a≤-2或a≥5时，三个方程中至少一个有实根。

【关键词】逆向思维；平面几何；教学

初中数学的教学目的是为了使学生获得数学基本知识，获得正确的运算能力，一定的逻辑思维能力和空间想象能力，最终分析解决实际问题。实现这一目的的手段，是加强对各种思维能力的培养，初中平面几何教学能培养学生的分析能力和思维推理能力，而思维能力的培养又是提高平面几何解题能力的关键，加强逆向思维训练是培养思维能力的重要方面。逆向思维是一种从问题的相反方面进行思维，反转思路，另辟蹊径的思维方法。这种“倒过来思”的方法，能使人们在遇到难题时，通过分析因与果，条件与问题之间的联系，摆脱“山重水复疑无路”的窘境，到达“柳暗花明又一村”之佳境。下面就如何加强逆向思维训练，提高平面几何解题能力，谈几点粗浅的看法。

一、加强数学基本知识的逆向教学

平面几何中的基础知识指的是定义、公理、定理等。掌握基础知识是指学生能把学过的知识形成自身的认知结构，是培养基本技能的基础。

（一）注意定义、性质的逆向教学

对概念的教学不仅要从正向讲清定义、公理、定理的确切含义，而且要注意逆向教学，只有这样才能加深学生对概念的理解和记忆。教材也提供了逆向思维的数学模型。如“两直线相交，只有一个交点。”如果两直线相交有两个交点，那么与两点决定一直线的几何公理矛盾，故两直线相交只有一个交点。教师可根据学生实际对“过直线外一点，只能作一条直线平行（垂直）于已知直线”“两直线平行，同位角相等”“三角形中最多只有一个直角或钝角”等性质进行逆向教学，可使学生对概念理解加深，融会贯通。

（二）注意定理的逆向教学

平面几何教学中引导学生探索一些定理的逆命题是否正确，不仅可巩固所学知识。而且还能激发学生探求新的知识，培养学生的学习兴趣。如学生在对“等腰三角形的顶角平分线，底边上的高，底边上的中线重合”的逆命题“如果三角形的一个角的平分线平分它所对的边，那么这个三角形是等腰三角形”进行讨论给出了三种证法（如图1）：

证法1：AD平分∠BAC=，又BD=DC则AB=AC

证法2：延长AD至E，使AD=ED，连接BE则ADC≌EDBAC=BE=AB

证法3：ABD和ACD中，∠BAD=∠CAD

AD=AD

BD=CDABD≌ACDAB=ACABC为等腰三角形。

证法1：利用角平分线定理，证法简明。

证法2：利用延长法作辅助线，能巩固全等三角形的知识，起到证明命题的作用。

证法3：是错误的，两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

通过对以上证法的分析能纠正学生的错误，引导学生选择最优证法，提高解题能力。

二、注意方法上的逆向训练，提高解题能力

教师通过例题的讲解进行逆向分析，让学生掌握解题的基本方法，提高解题思维能力。

（一）加强分析法教学，明确解题思路

分析法是从命题的结论出发，先假设命题成立，然后寻找充分条件的证题方法。学生感到平面几何题无从下手，原因是缺乏分析能力，没有明确的思路，具有盲目性。分析法能使学生思路清晰，从复杂的条件、图形理出头绪，也能让学生比较、选择最优方案。

（二）利用反证法教学

在学生有一定的基础时，适当地进行反证法教学能提高解题的灵活性，同时也可使零散的知识具有系统性。如对定理“在同一三角形中，大角对大边”可引导学生运用反证法。

如图2，已知∠C>∠B，求证ABAC。

证明1：假设AB=AC；则∠B=∠C与∠C>∠B相矛盾，故AB≠AC。

证明2：假设ABAC。

（三）利用开放性试题，发散学生逆向思维

开放性试题由于具有条件开放、结论开放、方法开放、思路开放等特点，能有效地为学生的思维发展创造条件，能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神，发展学生的创新意识。如图3，已知∠BAC=∠ABD，试添加一个条件，使ABC≌BAD。

解析：把图形分解成ABC与BAD，已知AB为公共边，∠BAC=∠ABD；根据“SAS”可以补充AC=BD；根据“ASA”可补充∠ABC=∠BAD；根据“AAS”可补充∠C=∠D。

这是一道典型的条件开放式试题，训练学生逆向思维能力，采用逆推法解题，执果索因。

总之，提高初中生的几何解题能力，是一项艰巨的任务，逆向训练是提高平面几何解题能力的一个手段。正向训练更不能忽视，只有综合运用，才能使学生具有创新思维的能力，逐步形成一系列行之有效的解题策略。

【参考文献】

[1]过伯祥.平面几何解题思想与策略[M].杭州：浙江大学出版社，2011.

[2]邓云.利用逆向思维解立体几何问题[J].湖南教育（下旬刊），2010（10）.

关键词:逆向思维;思维定势;创新作文教学

作文教学占了语文教学的半壁江山，同样要培养学生创新作文能力十分必要，因此，必须对学生进行创新作文教学。从“创新作文教学研究”开展以来，笔者进行了有益的尝试，着重培养了学生逆向思维能力，侧向思维能力和多向思维能力，旨在创新作文教学，培养学生写出立意“深、新、活”的好作文。

“扬州八怪”之一郑板桥，为一李姓男寿星写贺诗，适逢滂沱大雨，寿典难以为续，众人皆叹奈何，板桥提笔便写:“奈何奈何可奈何，奈何今日雨滂沱”，此时，旁观者嘘声四起，板桥不以为意，接着写道:“滂沱雨为李公寿，李公寿比雨更多。”当郑公停笔，掌声四起。郑公能赢得一片掌声，是因为他能出其不意，出奇制胜，做出了令人羡慕不已的突破性发明创造。是板桥的逆向思维助他赢得掌声。

如，指导学生写《爱》一文，我就启发学生:每个人的成长都离不开爱，有爱才有温暖，才有幸福的生活，才有美好的未来……有的学生说，我多么希望得到爱，因为在现实生活中缺少爱——无论是父母的，还是教师的，或者是人与人的;也有学生说，我得到了爱，因为生活中已经有人给了我无微不至的关怀，它带来了信心、力量和勇气。而最令人赞美的是，一位学生用了逆向思维:我不需要父母或教师过分的爱，因为过分的爱限制了我的发展，过分的爱使我与同学朋友之间产生隔阂，希望父母不溺爱，希望教师能把爱洒向每一个学生。这样的立意避免了单一与狭窄，显得新颖、独特，高人一筹。

谈敏

（南京市秦淮中学，江苏南京211100）

摘要：在高中数学解题过程中，帮助学生培养逆向思维能力，引导他们正确而巧妙地利用逆向思维，不仅有助于学生突破思维定势，改变其思维结构，进入新的境界，还可以使他们的思维灵活性和深刻性得到培养，分析和解决问题的综合能力也能进一步得到提高。本文从定义、定理、公式等几方面的应用对逆向思维在数学解题中的应用进行了论述。

关键词：逆向思维；高中数学解题；应用

逆向思维是一种与正向思维相反，从问题的反面进行思考的思维方式，也就是把命题的结论作为出发点，进而找寻结论成立的充要条件或者充分条件。在高中数学的教学过程中，教师应该意识到逆向思维的重要性，结合教材，培养学生的逆向思维能力，积极地引导学生在学习过程中正确有效的利用逆向思维，由根索源，反向思考，激发学生的创新意识，完善他们的综合知识，更好地完成教学目标，提升学生的分析能力。本文作者通过对实际数学问题的解析，探讨了逆向思维在数学解题过程中的应用。

一、逆向思维的含义和培养

二、逆向思维在高中数学解题中的一些具体应用实例

（一）逆用定义

以双曲线定义为例，若点P的轨迹是双曲线，则等式恒成立。

例1（福建卷）已知F1，F2是双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

解：因为MF1F2是正三角形且边MF1的中点在双曲线上，则设设边MF1的中点为P，有角F1PF2=90°，角PF1F2=60°，从而

所以根据双曲线的定义可知

解得，故选D。

点评：当已知是何种圆锥曲线且与两焦点有关时，可直接利用定义求解，以达到简缩思路、简化运算的目的。

（二）定理的逆用

勾股定理的逆定理是判断三角形为锐角或钝角的一个简单的方法。若c为最长边，且a2+b2=c2，则ABC是直角三角形。如果a2+b2>c2，则ABC是锐角三角形。如果a2+b2

例2如图1所示，在四边形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2:2:3:1，且角B=90°，求角BAD的度数。

解：设AD=a，则AB=BC=2a，CD=3a，连接AC，三角形ABC为等腰三角形，所以角BAC=45°，在Rt三角形中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=2AB2=8a2，又因为AD2=a2，CD2=9a2，所以AC2+AD2=CD2。

由勾股定理的逆定理知三角形CAD是直角三角形。

所以角CAD=90°，角BAD=角BAC+角CAD=45°+90°=135°。

图1

（三）公式的逆用

根据所求式子的结构特征及要求，把已知式子变成公式的变形形式或逆用形式，再进行变形的方法叫公式的变形及逆用法。比如对于两角和与差正切公式

可以变形为

即显示了两角正切乘积与正切和与差的关系，若α+β是特殊角，可直接找出它们的关系。

分析：注意17°+43°=60°

解：因为=tan60°=tan（17°+43°）=（tan17°+tan43°）／（1-tan17°tan43°）

所以tan17°+tan43°=（1-tan17°tan43°）

（四）反证法与分析法，待定系数法等的应用

反证法，分析法和待定系数法等重要的数学方法也都是通过逆向思维体现出来的。

例4：已知b=b1+b2，其中b1与a成正比例关系，b2与a成反比例关系，并且当a=1时，b=4；a=2时，b=5，求b与a之间存在的函数关系。

解：依题意，设b1=k1a,b2=k2／a，则b=b1+b2=k1a+k2／a。由已知条件可列方程组

解得k1=2，k2=2。因此，b与a之间的函数关系式为b=2a+2／a。

综上所述，在数学解题中，当应用常规正向思维受阻，或者需要迂回曲折才能找到答案时，改为应用逆向思维，往往能得到更为简单的解答，开拓出新的解答途径。因此，在平时的教学过程中，重视对学生逆向思维能力的培养，可以激发学生的学习兴趣，培养其数学思维，以及思维的敏捷性，并且有助于提高学生的综合能力，开发其智力。

参考文献：

[1]顾秀明.浅谈中学数学中逆向思维方法的应用—以定义、定理、公式的逆用为例[J].理科爱好者(教育教学),2009,1(4).

[2]张恩祥.试论逆向思维在高中数学中的应用[J].理科爱好者(教育教学版),2012,4(4).

下面结合自身的教学实践，就新课标下初中数学教学中学生思维能力的培养进行深入探讨.

一、培养学生思维能力的重要性

对学生思维能力的培养不仅是为了弥补学生综合发展过程中自身存在的不足，也是为了满足新课程标准的要求.注重学生思维能力的提升，能够引导学生更全面地看待问题，进而从对问题的推理过程中找寻出解决问题的办法.

初中生处于特殊的年龄阶段，加强学生思维能力的培养不仅能增强学生对数学基础知识的理解，还能提高他们的思维严谨性.在教学工作过程中，教师应摆脱传统的机械式思维习惯与思维方式，提高学生的思维能力，改善他们的思维方式，以引导他们形成良好的思维习惯.

二、注重学生逆向思维能力的培养

1.正确运用数学概念，培养学生的逆向思维能力

概念教学作为初中数学教学的一个重要环节，对于学生逆向思维能力的培养发挥着非常重要的作用.为此，在概念教学工作过程中应引导学生反过来思考问题，使他们能够对概念进行充分、透彻的了解，以便在做题时得心应手.

2.合理选择教学方法，培养学生的逆向思维能力

（1）公式逆用，注重学生逆向思维能力的培养

课堂上，教师应给学生示范公式的推导、公式的形成过程以及对公式的多种形式进行对比区分，探索公式是否可以逆用.在具体的课堂教学中，应多引导学生往这方面思考，让其活跃思维，拓宽思路，寻求更为精妙简单的解题方法，进而获得成就感，以此促进逆向思维能力的提升.对于初中数学而言，公式逆向应用等培养学生逆向思维能力的例子不胜枚举，如逆用乘法公式、逆用分式加减法则、逆用完全平方公式、逆用同底数幂乘法法则以及逆用一元二次方程根的判别式等.

（2）充分利用反证法，培养学生的逆向思维模式

利用反证法解题是运用逆向思维方式解题的一种体现，并且该方法也是初中阶段较常用的一种证明方法，能够有效地提升学生的逆向思维能力.

三、注重学生合情推理能力的培养

在传统的初中数学教学过程中，教师往往只是就题论题，忽视了学生合情推理能力的提升.为此，在今后的教学过程中，教师应注重教学方法的选择，以在对学生进行知识传授的额同时，促进学生合情推理能力的提升.

在数学课程的教学过程中，教师应利用文字、图像等已知条件，引导学生对问题进行认真分析、概括，以对问题共性与规律的总结来寻求出解决问题的答案.

由此可见，学生在不断的观察与思考中，有助于概括能力的提升，有助于引导他们去发现并掌握事物的存在规律，为他们合情推理能力的提升打下了坚实的基础.

四、注重学生创新思维能力的培养

1.总结教学方法，强化学生自主学习体验

对于初中数学课程而言，具有一定的抽象性与逻辑性，因引导学生把握数学规律与思维方法，才能使学生掌握数学教材的核心知识点，并将这些知识点运用到解决实际问题当中.因此，在具体的初中数学教学过程中，教师应对教学方式进行不断总结，注重渗透数形结合规律、对应规律、化归规律、函数与方程规律抽样统计等规律来引导学生对知识的梳理，并引导他们按照“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”之间的关系来建立起网络化的知识模块，以便于学生自主学习，使他们更加轻松地掌握每个模块的核心内容.同时，苏教版新课程标准要求，应注重学生解题技巧的培养.因此，在教学过程中，教师还应通过讲解一些例题来向学生揭示解决问题的规律与方法，培养学生的创新思维能力.

2.不断拓展、深化思维，引导学生创新思维的应用

人的思维能力是指智力能力，它的培养是小学数学教学中的要求，因此思维能力的培养具有十分重要的意义。心理学家的研究成果表明：儿童思维能力的发展潜力是非常大的，要是教育得法，这种潜力就能获得很大的发展。思维能力的发展过程是按一定规律的趋势连续不断进行的。要使学生思维能力符合于事物这种联系和发展趋势，就必须对学生的思维程序进行培养，而逆向思维是改变了正常的思维程序，遇到问题倒过来想一想。进行这种思维的训练，能促使儿童思维敏捷。培养创新型的人才。古代司马光砸缸救小孩的故事，就是逆向思维活动的体现，通常救落水儿童是让人离开水，而他却是使水离开人的办法，这种逆向思维的培养，值得积极探讨，下面，笔者就逆向思维能力的培养谈几点做法：

1概念、公式在数学教学中的逆向运用

一个数学概念的形成，一个数学公式的成立都具有其严密的逻辑性和科学性。学生对概念、公式的顺向理解和掌握是较为容易的。可是它们的逆向性往往会把学生弄得一塌糊涂，这就需要我们科学地分析，正确地引导，耐心地讲解，帮助学生理解，使学生自己掌握。

例如：只有一组对边平等的四边形，叫做梯形。这个数学概念的顺向性比较容易理解、掌握。根据分析、推导可得出梯形的面积公式：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。这样的知识一般的学生是可以较快理解和掌握的。不管是提问概念，或是给条件计算面积，都能比较顺利解决问题。在教学这个问题的同时，我又提出逆向判断问题：凡是只有一组对边平形的图形一定是梯形（×）。竟然有多数同学回答出现错误。有部分同学虽然回答正确，但不能说明道理。说彻底，就是问题的逆向性困扰着他们，对于这个问题，笔者通过逆向的提问判断，使学生知道梯形概念应具备的充要条件要有两个：①只有一组平行线；②图形是四边形。这样学生才真正掌握梯形的概念。教学利用梯形面积公式计算图形面积时，笔者除按照：知道梯形的上底、下底和高，求面积外，还应出现逆向的练习题：

①已知：梯形的面积、上底、下底，求梯形的高。

②已知梯形的面积、上底、高，求梯形的下底。

这样通过逆向反复练习，加深对公式的理解，沟通了数学教学实际问题与数学概念的认识，从而使学生对概念、公式牢固的掌握。也就是说，无论对概念还是公式，都要对其结构进行透彻的分析，顺逆反复练习，才能达到加深理解，掌握知识，培养思维。

2数学教学中逆向思维技能的培养

一个学生牢固掌握基本概念和公式是必要的，而技能的培养在实际数学教学中，也具有重要的作用，但这种能力的培养往往是难度较大。笔者在教学中采用抓逆向性的关键问题，灵活加以解决，既培养了思维又激发了兴趣。有这样一道数学题目：有三块铁片，分别二块二块过称，它们所称得的重量分别是：155千克、165千克、170千克，问最轻的那一块铁片有多少千克？

这是一道求平均数逆向性的应用题。如果根据平均数=总数÷总份数，这个基本方法是不能直接解决问题的，通过分析，我们不难可以发现总数逆向性这个问题的关键性。我们即可得到最轻铁块的重量（平均数），等于两次较轻重量之和减去最重一次称得的重量差（总数），除以称得次数（总份数）。即（155+165-170）÷2=70（千克）。这样既优化了练习方法，提高教学效率和效果，形成技能，又使逆向思维技能获得培养。

3假设是培养逆向思维的手段之一

在数学这门学科中，学生在解决问题时，往往会碰到一时难以解决的直接途径，这种问题，我们要培养学生一种假设的方法，以培养他们的逆向思维。

解决这类题目时，先假设某个数为我们特指的一个数，根据这个数和题目中的条件，还原出题中的某一数据，再对照还原出来的数与已知数据的差或倍比关系，调整假设数字，从而得出正确的答案。

例如：有7千克和9千克重的两种木箱共重249千克，计31箱。问两种木箱各有多少个？

我们假设31箱都是9千克，可得木箱总重量是9×31=279（千克），超条件的总重量（279―249）30千克，每加7千克一箱减少2千克，需减少30千克，可得7千克木箱有：30÷（9―7）=15（个）。从而得9千克重的木箱只有16个。

这种假设可起着使学生正逆思维相互交替作用，使学生对方法的理解和问题的解决更加深刻、更加牢固。

4逆正互化也是培养学生逆向思维的途径

正向思维是学生思维能力发展的基础，而逆向思维的培养，又是对思维能力发展的挖掘。我利用逆向互化的方法解决问题，达到培养的目的。

例如：甲乙两车分别从AB两地相向开出，甲车先开出2.5小时后，乙车以每小时以42.5千米的速度行驶12小时与甲车相遇，相遇时甲车比乙车多行驶84.5千米，甲车平均每小时行驶多少千米？

这是一道行程问题的逆向问题，如果我们把它理解为求平均数问题，就变成一道顺向的求平均数应用题，解决问题也因此转化而变得简单。即总数（甲车行程数）=42.5×12+84.5=594.5（千米），总份数=12+2.5=14.5（小时），平均数（甲车速度）=594.5÷14.5=41（千米）。

5图解是直观培养学生逆向思维的有效方法

图解是利用图形来分析或演算，以解决数学问题。它能让抽象、深奥的数学知识变成直观、通俗易懂学习内容；唤起学生对数学的学习兴趣。提高学生数学逆向思维的能力。

例如：甲乙两车匀速分别从AB两地相向开出，第一次在距离A地16千米处相遇，相遇后两车继续往前行驶，甲车到达B地后即时往回行驶，乙车到达A地后即时往回行驶，第二次在距离B地7千米处相遇。问AB两地距离多少千米？

我们从图中很容易看出：①甲乙两车每行驶一个AB全程甲车行驶16千米。②到第二次相遇时甲乙两车行驶了3个AB全程。③第二次相遇时甲车行了一个AB全程还多7千米。

国家发展的关键在人才，人才的成长依靠教育，因此对教育制度的深化和改革，是每一位教师的职责所在。在具体的实操中，对于历史课程的教学而言，如何培养学生的多重思维能力最为重要，教师，不仅要传道授业，如今更加注重解惑的讲课方法，即与以往相比更侧重于对每一位学子的思维训练。

据笔者观察，与物理、化学课程教学方式不同的是，初中历史教学中存在的显要难题是无实践、多抽象，多数老师讲课倾向于重知识、轻理解，重灌输、轻引导、重结论、轻演绎。

对初中历史课程的教学中，过多地追求考试成绩，对学生进行填鸭式教学，长此以往，往往使得本就处于叛逆期的中学生产生逆反心理，从而对历史课程的学习丧失兴趣，认为历史课只能用来考分数。导致的严重后果是，学生死记硬背历史知识，来应付期末考试，这样不仅抹杀了历史的有用性，更不利于学生将来的全面发展，有道是不读史不能明智。

本文认为逆向思维能力的培养，恰恰是解决当前初中历史教学中这一症结的药方，配合各项思维能力的训练，从而发掘出一条适合中学生正确学习历史课程的途径和方法。

一、何为逆向思维

逆向思维能力，即是一种与常规思维方式相左的思维模式，也常被称之为反向思维，常言道：“倒过来思考”说的就是逆向思考的方式。作为一种求异思维，对于习以为常的结论、或者常识反过来思考的一场逆向思维方法，“反其道而行之”。

对于中学生而言，让思维朝向对立面发展，从知识的另一面进行锲而不舍地探索，从而树立新的认知。

举一个最简单的例子，历史课本中的“司马光砸缸”，顺向思维的方式是先从水缸救人，然而司马光却另辟它径，使用逆向思维的方法，果断的用石头打破大瓷缸，从而就出水缸中的同学。

上述实例，便是采用逆向思维处理问题的方式，通过这种思考方式的不断训练，使得中学生轻松掌握一种新的学习技巧，同时也可以练就多维度认知历史、判断当前、预知未来的能力。

二、如何培养逆向思维能力

对于逆向思维能力的培养，在实际教学中，教师首先要擅长启发式授课，徐徐引导学生在课堂上多思考、多质疑，用疑问来启发新知。

比如，在母系氏族公社中，缘何是女性在生产和生活中占据着无比重要的位置，男性则处于附庸位置？再比如，为何有的国家信奉伊斯兰教，而有的地区信奉基督教，缘起是什么？对于学生们千奇百怪的问题，作为历史老师，不应该阻止，反而应给予肯定的态度，将学生的问题，集中起来一起讨论，引导学生思考，从而培养他们的自学能力和解答问题的能力。

其次，培养学生逆向思考、推理演绎的能力。例如世界第一次世界大战爆发的原因是什么，这是个从结果刨根溯底追究问题的原因，教师此时应当引导学生顺藤摸瓜，层层推理，步步设问，最后寻出战争爆发的原因。

可以引导学生首先提出“一战”的性质是什么，学生根据查询课本得出结论“帝国主义的非正义掠夺之战”。随后，老师循序渐进指引学生进行分析，参战的双方是谁，学生再次查询资料得出，双方为同盟国与协约国，并得出这是河蚌之争，是世界两大帝国主义集团的利益之争。紧接着，老师会继续发问，这两个帝国主义集团是怎样出现的，学生再次讨论、查阅书籍，得出各大帝国主义国家因利益之争，引发不可调节的矛盾。继续推导，具体矛盾有哪些，以及形成这些矛盾的原因又是什么，结论是帝国主义国家对世界殖民地的掠夺。追问，掠夺殖民地的原因是什么，推论出是因为帝国主义国家经历了快速的经济发展，需要大量廉价的劳动力以及丰富的资源，这又是两次工业革命的刺激下引起的西方国家的迅速扩张。

历史事件的发生，往往都是一个系统地、连贯性的过程，这实际上也是一种前后相继的因果联系，在历史授课中，通过引导学生从结论循序渐进地反向找到事件发生的原因，实际上，这也是辩证唯物论和历史唯物主义基本原理的反推运用，更是逆向思维学习初中历史的重要方法之一。

在这个“顺藤摸瓜”的过程中，教师起到了至关重要的作用，在学生对历史事件不得其解或了无兴趣时，均可采用这种逆向思维和推理的方法，来引导学生对历史课的学习。

三、逆向思维能力培养的多重思路

除了逆向思维能力，还需要辅以其它的思维方法来配合逆向思维使用。具体说来，首先，需要有怀疑精神，“尽信书不如无书”，在历史课程的学习中，教师要培养学生的批判精神，对所学要保持怀疑的态度，多问为什么，这是培养逆向思维能力的前提。例如，清末中国处于一个翻天覆地的剧变中，作为两个时代的衔接阶段，历史课本的讲述也许并不能完全解答学生的疑问，如李鸿章的历史地位是怎样的，清朝末年为何遭受各帝国主义的瓜分，带着众多的疑问，教师引领学生通过上网、或图书馆查阅更多详尽的资料，最好来自我解答心中疑惑。

在初中历史课程的教学中，不提倡将历史故事化，但要鼓励将历史形象化，几千年的历史，正是由一个个单独发生的历史事件串联而成，在解读这些历史事件时，不仅要运用逆向思维能力来理解历史，也要鼓励中学生提出自己的看法和理解，提高学习历史的主观能动性。

这样，不仅使学生对此知识辨析得更清楚，而且还逐步培养了学生逆向思维的意识。

二、兴趣激发——运用逆向思维解题。我们在应用题的教学中，不只是为了求出一个答案，重要的是得出答案的思考过程，因为正是这个思考过程展示了学生数学思维能力的发展，在应用题的教学中注重逆向思维能力的培养，不仅能使学生加深对应用题的理解，而且能促使思维的发散，用多种方法来解题，获取问题解决的最佳策略，使其思考过程最优化。在解答数学问题时，如果正面求解感到困难，甚至难以下手时，可以引导学生从反面去考虑，这时往往会很快找到解题思路。当学生有了“峰回路转、柳暗花明”的瞬间思维火花的闪耀，那一种成功的感觉是学生最可宝贵的。