提交一份培养学生代数推理能力的教学设计。
一、教学内容解析
在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出，推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。第三学段（7-9年级）具体要求：体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：通过具体事例发现一般规律，并能用符号表达与论证。二、教学目标设置
要形成代数推理思维需要引导学生开展代数推理论证活动，促进学生通过具体事例发现一般规律，并能用符号表达与论证.进一步提升符号意识，养成利用数学符号论证问题的习惯。
正确体现“课程目标—单元目标—课堂教学目标”的层次性，在《2011版新课标》的“总体目标”和“内容要求”的指导下，设置并陈述课堂教学目标。本节课的教学目标
1、对给出的特例进行猜想，并对猜想的结论进行表征。能根据分析得到的联系做出进一步的猜想，并且用一般性的表达方式表示出相似属性，形成一个数学猜想。
2、能对归纳得到的一般性结论进行检验，并通过论证的话语证明这些概括得到的规律的准确性。
3、应用所学的研究方法解决实际问题，形成“代数地”进行推理的能力，养成利用数学符号论证问题的习惯，在方法迁移的过程中获得成功的体验。
三、学生学情分析
学生的算术思维占据主导地位，代数思维的发展与学生现有的数学知识之间存在不平衡的现象。学生对待代数的运算过程，往往只看成一种计算而不看成推理过程，即算法熟练，算理不清。在熟悉的知识背景下学生善于发现数量关系，但是以用文字或符号语言准确地描述数量关系存在困难，同时转化表征还会存在一些错误。对于较为陌生或者抽象的情境，学生较难发现了有关联的数量，更无法准确地阐述出它们之间的关系，将问题中的数量关系和变化规律用符号表示出来，符号化的过程学生存在困难。在代数推理能力的计算方面，部分学生习惯于对具体的数字进行运算，相当部分学生不能主动并熟练地使用方程等代数方法进行计算，但缺乏检验的意识，在解决问题的过程中，不会对解题方案以及计算结果进行检验。
在上述分析的基础上，确定教学难点：从实际问题中抽象出数量关系，并能用符号表达与论证。
分析突破难点的策略：充分发挥学生的主体作用，学生经历观察、猜想、验证、证明等一系列过程来进一步提升学生的合情推理及演绎推理能力，同时通过意义建构获取属于他们的知识。教学时，教师要充分发挥主导作用，适时对学生提出一些问题，帮助学生思考；适时给予学生一定的指导，帮助他们越过思维障碍；适时总结，帮助学生梳理知识与过程。
四、教学策略分析
1.教学面临的问题对本课而言，学生要从具体事例发现一般规律，并能用符号表达与论证.这需要考虑以下问题：
（1）在学生对于小学阶段所学的加减乘除等运算的认识，已经固化在已有的运算层面的思考，不易提出的一般化的猜想，应当通过教学让学生思考从特殊引向一般化，从而两个奇数的和是偶数等猜想。
（2）在对具体研究猜想的论证过程中，学生比较容易获得奇数与偶数的符号化表征，从而得出证明过程，但是说理的完整表述仍存在困难，所以学生尝试证明后发现不足，由教师进一步点评与改进，达成推理的严谨。
（3）问题情境的设计要尽量新颖、浅显，保护学生的积极性。本课所研究的实际问题有一定难度，让学生独立思考后小组讨论，教师参与其中，引导从特殊到一般的论证过程，发现规律，探索分类，在被3整除与被5整除中对比分析，择优原则，最后按类研究分析与证明。
2.教学方法的选择本课主要采用了教师启发讲授和学生探究相结合的方法，包括教师的启发讲授、提问、演示，以及学生的练习、展示、讨论等过程。
3.教学问题与情境的设计
〖问题设计〗
（1）观察算式“3+5=8”：从数的属性我们能得到哪些猜想？
（2）尝试证明：任意两个奇数的和为偶数？
（3）进一步猜想：由任意两个奇数的“和”变成“差”，结果会发生改变吗？
（4）任意两个奇数的“和”变成“积”，结果会发生改变吗？
（5）再进一步猜想：任意两个奇数变成任意三个奇数，结果会改变？N个奇数呢？
（6）再换一个角度猜想：奇数变成偶数呢？结果会发生改变呢？
（7）数学文化：哥德巴赫猜想中数学家们的研究过程，解释“陈氏定理1+2”的由来。
问题设计思考：由问题（1）至文化（7），从一个最简单的算式入手，由数到式，引发第1个猜想，由1个猜想到n个猜想，由点及线，由线拓面，层层递进，一条主线贯穿到底，符合学生的认知规律，低起点，高落脚，达到“提低、托中、升高”让学生的思维往纵横两个方向得到发展，让深度学习可见。
〖情境设计的由来〗
①由一个算式“3+5=8”引发的猜想并论证：任意两个奇数的和为偶数；
②延伸思考：奇数个奇数的和为奇数；偶数个奇数的和为偶数；
③逆向思考：奇数和偶数构成了整数，那么任意一个整数是不是都可以写成任意两个奇数的和呢？
④进一步思考：任意一个大于等于8的数是否可以写成若干个3和若干个5的和？
⑤设计应用情境：商店的糖果有3千克和5千克两种包装，货源充足以保证供应.售货员观察发现，凡购买8千克和8千克以上的整数千克的糖果,无论是不是3或5的倍数，售货员都不需要拆包就可以提供.
情境设计思考：如何围绕教学重点（通过具体事例发现一般规律，并能用符号表达与论证），依据知识的发生发展过程和学生的思维规律，设计“问题串”。由从单个结论①到纵向深入思考②，再到逆向思考③，最后由逆向思考④中抽取出特殊的问题情境⑤，意在引导学生的数学思维深度的活动的分析，由更一般化的结论中得到启发，思考特殊化的情境再现，体现了数学建模的基本思想。
五、教学过程设计
为达到教学目标，我为本课设计了四个教学环节，教学流程如下：
1.引发猜想由一个算式引发的思考：3+5=8问题1：由数的属性方向思考，3、5和8是什么数呢？
【师生活动】齐答：从集合的角度，从小到大或从大到小作答：奇数（偶数、质数、合数），整数，有理数，实数。
问题2：我们能得到哪些猜想？
【师生活动】学生独立思考后作答，师生共同记录并整理：两个奇数的和是偶数？两个奇数的和是合数？两个质数的和是偶数？两个质数的和是合数？……两个有理数的和是有理数？两个整数的和是整数？两个无理数的和是无理数？……
追问1：所得到的这些猜想是正确的吗？如果是正确，请写出证明过程。如果错误，请举出适当的反例说明。
【师生活动】针对猜想“两个无理数的和是无理数？”举出适当的反例说明，论证猜想的错误，然后引导学生思考，从众多猜想中选取最简单的猜想开始尝试证明。
【设计说明】从学生最熟悉的数的加法算式入手，找破运算层面的固化认知，从一个视角（数的属性）入手，引导学生提出的（一类数属性）一般化的猜想，完成了一次思维层次的升级，从符号意识入手培养学生的代数思维，引出课题《代数推理》。
2.探究证明
问题3：尝试证明：任意两个奇数的和为偶数？
【师生活动】类比几何命题中的推理过程及证明书写，构建代数说理的论证过程：①明确基本事实，②命题符号表示，③寻找结构特征，④书写推理过程。得出该命题的基本事实（有待日后证明）：任意两个整数的和为整数。由学生独立思考奇数与偶数的符号表征，并尝试寻找结构，初步书写推理过程。
教师收集学生的思考：
〖思路01〗：设两个奇数为x和y,其和表示为x+y（x和y为整数）
〖思路02〗：设两个奇数为n和n+2,其和表示为2n+2（n为整数）
〖思路03〗：设两个奇数为2n+1(2n-1)和2m+1(2m-1),其和表示为2m+2n+2（m和n为整数）
〖思路04〗：设两个奇数为2n+1(2n+1)和2m-1(2m-1),其和表示为2m+2n（m和n为整数）师生共同研讨同学们的作品：
点评1：从思路01中发现学生无法正确表征奇数与偶数的代数结构
点评2：从思路02中发现学生的视角受到3与5是两个连续奇数的影响，用两个连续奇数的符号表征来进行说理，而不是任意两个奇数，指出思考的局限性，突出任意性的符号表征的注意点。点评3：从思路03和04中发现学生在论证过程中缺少对于m+n为整数的推理过程：由m和n为整数，依据“任意两个整数的和为整数”推出m+n为整数。分析得出：
对于任意两个奇数x=2n+1和y=2m-1（m和n为整数），一定存在整数k,使得“x+y=2k”成立。证明：
设任意两个奇数分别为2n+1(2n+1)和2m-1(2m-1),则它们的和为2m+2n。∵m和n为整数，∴m+n为整数，当整数k等于m+n时，得到“x+y=2k”成立【设计说明】类比研究一般的数学推理过程，迁移到数学代数推理，通过学生使用符号表示奇数和偶数，再用符号进行推理运算，找出代数的结构特征从而发现数量关系，理解变化规律，得到一般化的结论。数学符号表征是数学表达和进行数学思考的重要形式，但表征能力形成的过程不是一触而就，良好的符号意识培养需要耐心地帮助学生理解符号的意义和正确表征的方法，代数推理要求论证的严密性仍需一个从不严密到准确过程，从而逐步形成代数推理中的演绎推理能力。
3.推广迁移
3.1推广思考
问题4：(1)猜想：由任意两个奇数的“和”变成“差”，结果会发生改变吗？
(2)进一步猜想：任意两个奇数的“和”变成“积”，结果会发生改变吗？
(3)再进一步猜想：任意两个奇数变成任意三个奇数，结果会改变？N个奇数呢？(4)再换一个角度猜想：奇数变成偶数呢？结果会发生改变呢？
【师生活动】师生共同研讨得出：两个奇数的和为偶数；两个奇数的差为偶数；两个奇数的积为奇数；奇数个奇数的和为奇数；偶数个奇数的和为偶数；……两个偶数的和为偶数；两个偶数的差为偶数；两个偶数的积为偶数；任意多个偶数的和为偶数……
【设计说明】展开从“1”到“n”的推广思考，得到进一步的猜想，将研究数的性质问题引向深入，从特殊到一般后，再从一般猜想到进一步的多角度多维度的猜想，拉伸猜想的目的，激活学生的思维，达成深度学习的目的，突出一般化的思考是代数思维的核心。
3.2迁移应用问题5：
商店的糖果有3千克和5千克两种包装，货源充足以保证供应.售货员观察发现，凡购买8千克和8千克以上的整数千克的糖果,无论是不是3或5的倍数，售货员都不需要拆包就可以提供.
【师生活动】
〖活动01〗
学生先独立思考，发现困难，然后组织小组讨论活动。教师参与到各个小组的讨论中，发现学生对于结果的真伪进行了激烈地争论，并用穷举法进行从特殊到一般的验证。
〖活动02〗
在小组充分讨论与验证的基础上，师生共同从满足条件的特殊数值开始验证书写，从中发现规律，初步验证结论正确。
〖活动03〗
学生独立完成代数说理的论证过程：①明确基本事实，②命题符号表示，③寻找结构特征，④书写推理过程。学生作品展示，教师点评。
4.1课时小结：
这节课我们主要研究了哪些内容，
学到了哪些研究策略与证明思路？
从研究内容来看，整数的性质特征的进一步研究；
从研究策略来看：从特殊到一般，再从一般到特殊，①问题一般化，②问题特殊化，
③猜想规律，④证明结论从证明思路来看：构建代数说理的论证过程
①明确基本事实，②符号表征命题，
③寻找结构特征，④书写推理过程。
4.3课后作业：（1）请选择一个“探究过程中你发现的规律”，判断正误，并证明.
证明：当且仅当a+b+c+d可以被3整除时，这个数可以被3整除.
【设计说明】
在总结提升环节，通过课堂小结让学生再次梳理研究的内容、研究策略与证明思路，进一步体会“代数推理”的特点.视频《哥德巴赫猜想》让学生在陈景润的陈氏定理的研究与证明过程，也是在前人的研究策略与路径上做了进一步的研究，让学生再次体会到一般化思考的重大意义。
课后作业的层次鲜明：第（1）题巩固本课的研究过程和方法；第（2）、（（3）题给学有余力的学生更高的思维空间，让他们体会，加深整体研究方法及思路的理解.
1、M表示一个两位数，N表示一个三位数，如果把M放在N的左边，组成一个五位数，那么这个五位数是____________.(请用含M、N的式子表示）.
5、证明：序列49，4489，444889，44448889，……中的每一项都是一个完全平方数.