初中数学“去模型化”的教学思考

史宁中教授多次谈到,数学抽象之后,建立数学模型,然后解决问题,是数学化的一般方法。例如对于函数而言,常见的函数模型有一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型、对数函数模型、幂函数模型、分段函数模型、三角函数模型、数列函数、线性目标函数模型和综合函数模型等.

再比如广州市共享课堂初二的《最短路径》这一节,总结的方法归纳如下:

所以模型不能去,也去不得!

但是高中和初中新课标的数学建模,和初中常见的解题模型如“手拉手模型”、“倍长中线模型”,“旋转模型”,“一线三等角模型”、“胡不归模型”、“瓜豆原理模型”、“费马点模型”……是不是同一个概念?

当然,高中也有许多各种解题的二级结论,例如“同构”、“对数平均不等式”、“极值点偏移”……这些是不是新课标中的“数学建模”?

许多“专家”诟病初高中的数学解题模型,认为会禁锢学生的思维,但是他们在教二次函数模型解决实际问题的时候,却不这样说?

笔者认为:建模是为了能更快速和更准确的找到解题思路,这比单纯刷题有效。学生使用模型就一定要弄清楚模型背后的原理和使用模型的条件。中考高考去的是“思维定势化的套路”,而不是简单粗暴的把各种解题模型丢掉!

甚至,章建跃博士的多次讲座中,“套路”也不是贬义词。

例如在《数学知识的理解和教学》的讲座中,他讲到:

即研究几何是有“基本套路的”!

不会这个套路,怎么能教好几何?

当然,研究其它数学知识,肯定也有相应的“套路”……

包括广州教研室伍老师的书中,也有专门的一个章节,

专门探讨数学模型的教与学!

数学模型,是根据特定的研究目的,采用形式化的数学符号、语言或图形,表示出研究对象的主要特征和关系的--种数学结构。数学模型既包所几何图形,也包含代数关系,还可以是-些固化的解题思路、步骤。模型解题的优势是通过建立模型,把陌生的问题转化为熟悉的问题,进而找到有效解决向问题的方法。模型解题教学是引领学生深人学习的方法之一,在数学教学中占有较大的比重。

《义务教育数学课程标准(2011年版)》中指出,模型思想的建立是学生理解和体会数学与外部世界联系的基本途径。模型思想是数学建模核心素养在初中数学课程内容中的具体体现。近年来,在各地中考和模拟考试试题中,涌现出了大量由各类几何模型演变和延伸而来的题目,这些题目虽然各不相同,但在解题的策略和方法上却是相通的,往往可以利用几何模型来求解。例如,常见的几何模型,如“母子模型”“一线三等角模型”“90°含半角模型”“隐圆模型”等,在解决问题时能够起到关键性的作用。

“去套路”,“去模型”的教学,笔者认为如下:

第二,在问题解决教学中,最后可以提炼出模型,但是更加更高层面上要提炼出解决问题的通性通法、思想方法,避免让学生浪费许多精力去记忆大量模型,在解题中识别模型和套用模型,因为许多原创的问题,实际上按照已有模型还不一定能解决(其实笔者发现,尽管出题者想回避模型或套路,但是非常难,因为研究的人多了,模型或套路就出来了,就像鲁迅说的一样,世界上本没有路……),或者原创问题背景新鲜,学生不一定能识别出相应的模型,或者根本不要去套这模型,直接去解决它更好!

第三,解题教学中,最关键的是,永远都不要从模型出发,而是从题目条件和结论出发,按照波利亚的四步解题法或套路(还是套路啊),第一步,理解题意,第二步,形成解题思路……

同时注重重点知识的专项强化和变式拓展延伸等……

这本书看似是一本数学方面的书,其实对于我们解决任何问题都有借鉴意义。

一、波利亚的四步解题法

第一步,彻底理解问题。

问题既不能太难也不能太简单。你不要迎难而上,主动去找太难的问题,也不要随遇而安,专找自己会做的问题。为了确保真正理解问题,你最好把问题用自己的话换成各种各种形式反复重新表达。

无论怎么重新表达,别忘了要提出问题的主干:要求解的是什么?已知什么?要满足哪些条件?

第二步,形成解决思路。

如果思路始终不肯降临,你就试试改变这个问题的各个组件;已知、未知、条件,逐一替换,直到找到与之相似而你又解决过的问题。

第三步,执行

获得思路需要掌握知识、良好习惯、专注、还有运气,执行它就相对简单,主要是耐心。要反复提醒自己:每一步都要检查。

检查有两种,一种是直觉,直觉是问你自己,这一步是不是一眼看去就是对的?一种是证明,证明是问你自己,能不能严格证明这步是对的?两种检查方式都有用,不过是两回事。

第四步,总结

决不能解决完问题就了事,那就浪费了巩固知识和提升技巧的机会。你再检查一遍论证过程,尝试用另外的方法解题,寻找更明快简捷的方法,还要问,这次的解法能否用来解决其他问题?

总结是最好的启发时刻。

二、解决问题的问题清单

与四步解题法相对应的,有个完整的提问清单。即使你面对的不是数学题而是人生种种难题,四步解题法及问题清单也极有价值。它适用于无数其他情境,帮助每个人寻找各自问题的解决之道,不论它是什么问题。

1、在理解问题阶段的问题清单是:

求解什么未知数?已知什么?条件是什么?条件充不充分?但凡能画图,一定要画,把条件分解成各个部分,把问题用自己的话重新讲,反复讲。

2、在构思解题思路阶段的问题清单是:

3、在执行解题思路阶段的问题清单是:

每一步都检查过了吗?能看出来这一步是对的吗?能证明这一步是对的吗?

4、在回顾总结阶段的问题清单是:

结果检查了吗?论证过程检查了吗?能否用另外的方法推出结果?能否将方法用于解决其他题目?

波利亚认为,这些问题清单:

[if!supportLists]1)[endif]必须要系统、自然、明显、符合常识,防止打断形成思路的进程;

[if!supportLists]2)[endif]必须要反复问,把它内化成肌肉反应;

[if!supportLists]3)[endif]必须要有一般性,不仅适用于眼下的问题,还能适用于所有情境;

[if!supportLists]4)[endif]必须要从一般性问题逐渐引到具体问题,激活思路,再回到一般性问题上来,如此反复迭代。

这样才能为练习者指出思考的方向,同时又留下了足够的努力空间。

波利亚的四步解题法及提问清单应用了启发式学习法。启发式学习起源于古希腊科学家阿基米德那句著名的eureka,意思是“找到了”,传承至今。它不保证完美结果,看重实用性,是发现、解决问题并从中学习的经典方法。

启发式学习,简单但不容易,本身不是秘诀,一看就懂,照方抓药绝对管用,却必须艰苦修炼才能有所成。

最后,中国的罗增儒教授,在解题教学和解题研究上,也有自己非常深入的研究,笔者一直深受影响,是真正“有用”的学问,非常值得我们学习、实践和推广。

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