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1、一基本概念1集合具有某种特定性质的事物的总体组成这个集合的事物称为该集合的元素有限集无限集数集分类N自然数集Z整数集Q有理数集R实数集数集间的关系例如不含任何元素的集合称为空集例如规定空集为任何集合的子集2区间是指介于某两个实数之间的全体实数这两个实数叫做区间的端点称为开区间称为闭区间称为半开区间称为半开区间有限区间无限区间区间长度的定义两端点间的距离线段的长度称为区间的长度3邻域4常量与变量在某过程中数值保持不变的量称为常量注意常量与变量是相对过程而言的通常用字母abc等表示常量而数值变化的量
3、的电压例2解故三函数的特性有界无界1函数的有界性2函数的单调性3函数的奇偶性偶函数奇函数4函数的周期性通常说周期函数的周期是指其最小正周期直接函数与反函数的图形关于直线对称四反函数五小结基本概念集合区间邻域常量与变量绝对值函数的概念函数的特性有界性单调性奇偶性周期性反函数思考题思考题解答设则故练习题练习题答案一基本初等函数1幂函数2指数函数3对数函数4三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数5反三角函数幂函数指数函数对数函数三角函数和反三角函数统称为基本
4、初等函数二复合函数初等函数1复合函数定义注意1不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的2复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成2初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数称为初等函数例1解综上所述三双曲函数与反双曲函数奇函数偶函数1双曲函数奇函数有界函数双曲函数常用公式2反双曲函数奇函数奇函数四小结函数的分类函数初等函数非初等函数分段函数有无穷多项等函数代数函数超越函数有理函数无理函数有理整函数多项式函数有理分函数分式函数思考题思考题解答
5、不能一填空题练习题练习题答案割之弥细所失弥少割之又割以至于不可割则与圆周合体而无所失矣1割圆术播放刘徽一概念的引入正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2截丈问题一尺之棰日截其半万世不竭二数列的定义例如注意1数列对应着数轴上一个点列可看作一动点在数轴上依次取2数列是整标函数播放三数列的极限问题当无限增大时是否无限接近于某一确定的数值如果是如何确定问题无限接近意味着什么如何用数学语言刻划它通过上面演示实验的观察如果数列没有极限就说数列是发散的注意几何解释其中数列极限的定义未给出求极限的方法例
6、1证所以注意例2证所以说明常数列的极限等于同一常数小结用定义证数列极限存在时关键是任意给定寻找N但不必要求最小的N例3证例4证四数列极限的性质1有界性例如有界无界定理1收敛的数列必定有界证由定义注意有界性是数列收敛的必要条件推论无界数列必定发散2唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限证由定义故收敛数列极限唯一例5证由定义区间长度为1不可能同时位于长度为1的区间内3收敛数列与其子数列间的关系如果数列收敛于a那么它的任一子数列也收敛且极限也是a五小结数列研究其变化规律数列极限极限思想精确定义几
7、何意义收敛数列的性质有界性唯一性思考题证明要使只要使从而由得取当时必有成立思考题解答等价证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用适当放大的值从而时仅有成立但不是的充分条件反而缩小为练习题割之弥细所失弥少割之又割以至于不可割则与圆周合体而无所失矣1割圆术刘徽一概念的引入三数列的极限三数列的极限三数列的极限三数列的极限三数列的极限三数列的极限三数列的极限三数列的极限三数列的极限三数列的极限三数列的极限三数列的极限三数列的极限播放一自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演
8、示实验的观察问题如何用数学语言刻划函数无限接近2另两种情形3几何解释例1证二自变量趋向有限值时函数的极限2几何解释注意例2证例3证例4证函数在点x1处没有定义例5证3单侧极限例如左极限右极限左右极限存在但不相等例6证三函数极限的性质1有界性2唯一性推论3不等式性质定理保序性定理保号性推论4子列收敛性函数极限与数列极限的关系定义定理证例如函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在且相等例7证二者不相等四小结函数极限的统一定义见下表思考题思
9、考题解答左极限存在右极限存在不存在一填空题练习题练习题答案一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限一无穷小1定义极限为零的变量称为无穷小例如注意1无穷小是变量不能与很小的数混淆2零是可以作为无穷小的唯一的数2无穷小与函数极限的关系证必要性充分性意义1将一般极限问题转化为特殊极限问
10、题无穷小3无穷小的运算性质定理2在同一过程中有限个无穷小的代数和仍是无穷小证注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小证推论1在同一过程中有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论2常数与无穷小的乘积是无穷小推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小都是无穷小二无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大特殊情形正无穷大负无穷大注意1无穷大是变量不能与很大的数混淆3无穷大是一种特殊的无界变量但是无界变量未必是无穷大不是无穷大无界证三无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中无穷大的倒数为无穷小恒不为零的无穷小的倒数为
11、无穷大证意义关于无穷大的讨论都可归结为关于无穷小的讨论四小结1主要内容两个定义四个定理三个推论2几点注意无穷小与无穷大是相对于过程而言的1无穷小大是变量不能与很小大的数混淆零是唯一的无穷小的数2无穷多个无穷小的代数和乘积未必是无穷小3无界变量未必是无穷大思考题思考题解答不能保证例有一填空题练习题练习题答案一极限运算法则定理证由无穷小运算法则得推论1常数因子可以提到极限记号外面推论2有界二求极限方法举例例1解小结解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系得例2解例3消去零因子法例4
12、解无穷小因子分出法小结无穷小分出法以分母中自变量的最高次幂除分子分母以分出无穷小然后再求极限例5解先变形再求极限例6解例7解左右极限存在且相等三小结1极限的四则运算法则及其推论2极限求法a多项式与分式函数代入法求极限b消去零因子法求极限c无穷小因子分出法求极限d利用无穷小运算性质求极限e利用左右极限求分段函数极限思考题在某个过程中若有极限无极限那么是否有极限为什么思考题解答没有极限假设有极限有极限由极限运算法则可知必有极限与已知矛盾故假设错误一填空题练习题二求下列各极限练习题答案一无穷小
13、的比较例如极限不同反映了趋向于零的快慢程度不同不可比观察各极限定义例1解例2解常用等价无穷小用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如二等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理证例3解不能滥用等价无穷小代换对于代数和中各无穷小不能分别替换注意例4解解错例5解三小结1无穷小的比较反映了同一过程中两无穷小趋于零的速度快慢但并不是所有的无穷小都可进行比较2等价无穷小的替换求极限的又一种方法注意适用条件高低阶无穷小等价无穷小无穷小的阶思考题任何两个无穷小量都可以比较吗思考题解答不能例当时都是无穷小量但
14、不存在且不为无穷大故当时练习题练习题答案一函数的连续性1函数的增量2连续的定义例1证由定义2知3单侧连续定理例2解右连续但不左连续4连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线例如例3证二函数的间断点1跳跃间断点例4解2可去间断点例5解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义则可使其变为连续点如例5中跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点特点3第二类间断点例6解例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个
15、点狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断且都是第二类间断点仅在x0处连续其余各点处处间断在定义域R内每一点处都间断但其绝对值处处连续判断下列间断点类型例8解三小结1函数在一点连续必须满足的三个条件3间断点的分类与判别2区间上的连续函数第一类间断点可去型跳跃型第二类间断点无穷型振荡型间断点见下图可去型第一类间断点跳跃型无穷型振荡型第二类间断点思考题思考题解答且但反之不成立例但练习题练习题答案一四则运算的连续性定理1例如二反函数与复合函数的连续性定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数例如反
16、三角函数在其定义域内皆连续定理3证将上两步合起来意义1极限符号可以与函数符号互换例1解例2解同理可得定理4注意定理4是定理3的特殊情况例如三初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的定理5基本初等函数在定义域内是连续的均在其定义域内连续定理6一切初等函数在其定义区间内都是连续的定义区间是指包含在定义域内的区间1初等函数仅在其定义区间内连续在其定义域内不一定连续例如这些孤立点的邻域内没有定义在0点的邻域内没有定义注意注意2初等函数求极限的方法代入法例3例4解解四小结连续函数的和差积商的连续性复合函数的连
17、续性初等函数的连续性定义区间与定义域的区别求极限的又一种方法两个定理两点意义反函数的连续性思考题思考题解答是它的可去间断点练习题练习题答案一最大值和最小值定理定义例如定理1最大值和最小值定理在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值注意1若区间是开区间定理不一定成立2若区间内有间断点定理不一定成立定理2有界性定理在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界证二介值定理定义几何解释几何解释证由零点定理推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值例1证由零点定理例2证由零点定理三小结四个定理有界性定理最值定理介值定理根的存在性定理注意1闭区间2连续函数这两点不满足上述定理不一定成立解题思路1直接法先利用最值定理再利用介值定理2辅助函数法先作辅助函数Fx再利用零点定理思考题下述命题是否正确思考题解答不正确例函数练习题