1、大家好大家好12一阶微分方程一阶微分方程第七章第七章复习复习高等数学（下）总高等数学（下）总3dxxfdyyg)()(形如形如1可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法)(xyfdxdy形如形如2齐次方程齐次方程xyu令令dxxuufdu1)(4)(yxgdydx对称情况对称情况yxv令令ydyvvgdv通解通解5)()(xQyxPdxdy3一阶线性微分方程一阶线性微分方程)()()(CdxexQeydxxPdxxP).()(yQxyPdydx对称情况对称情况)()()(CdyeyQexdyyPdyyP6高阶微
2、分方程高阶微分方程11、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法型型)()1()(xfyn接连积分接连积分n次，得通解次，得通解.y不显含未知函数不显含未知函数),()2(yxfy型型代入原方程代入原方程,得得).(,(xPxfP),(xPy令令,Py7.x不显含自变量不显含自变量),()3(yyfy型型代入原方程代入原方程,得得).,(PyfdydpP),(xPy令令,dydpPy822、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（11）二阶齐次二阶齐次线性线性方程解的结构方程解的结构:)1(0)()(yxQyxPy定理定理11：如果：如果)
3、(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个线性无关的两个线性无关（22）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构:)2()()()(xfyxQyxPy定理定理22设设*y是是)2(的一个特解的一个特解,Y是与是与(2)(2)对应对应的特解的特解,那么那么2211yCyCy就是方程就是方程(1)(1)的通解的通解.的齐次方程的齐次方程(1)(1)的通解的通解,那么那么*yYy是二阶非是二阶非齐次线性微分方程齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解.9定理定理33设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函解的叠
4、加原理解的叠加原理.代入即可证得代入即可证得数之和数之和,如如)()()()(21xfxfyxQyxPy而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程,的特解的特解,)()()(1xfyxQyxPy)()()(2xfyxQyxPy那么那么*2*1yy就是原方程的特解就是原方程的特解.1002qprr0qyypy特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式实根实根21rr实根实根21rr复根复根ir2,1xrxreCeCy2121xrexCCy2)(21)sincos(21xCxCeyx特征方程为特征方程为33、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性
5、方程解法二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程1101)1(1)(yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111nnnnPrPrPr推广：推广：阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重实根重实根若有若有rxkkexCxCC)(1110ik复根复根重共轭重共轭若有若有xkkkkexxDxDDxxCxCCsin)(cos)(111011101244、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)()()
6、1(xPexfmx解法解法待定系数法待定系数法.,)(xQexymxk设设是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm)(mkQxxQ13型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk设设次多项式，次多项式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1(nlm,max.1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时iik14向量的分解式：向量的分解式：(,)xyzaaaar.,轴上的投影轴上的投影分别为向量在分别为向量在其中其中zyxaaazyxkajaiaazyx在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：kajaiazyx,向量的坐标表示式：向量的坐标表示式：向量的坐标：向量的坐标：zyxaaa,11、向量的坐标表示法、向量的坐标表示法（一）向量代数（一）向量代数第八章第八章空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数15向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式向量的加减法、向量与数
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