1、数学基础知识,理论力学之,许杰,微积分,矢量,正交曲线坐标系,线性代数,微积分,基本初等函数求导,函数的基础求导方法,函数的最值,曲率与曲率半径,级数,微分,常系数微分方程,积分,微积分,基本初等函数求导,函数,说明：,极限的定义,的极限,（i）,，但不等于,越来越靠近,（ii）,的极限存在,极限唯一,左极限右极限,反之成立,左、右极限存在且相等,极限唯一,（iii）,不一定等于,连续（无断点）时，,函数,的极限,Givenany,，thereexist(),Suchthat,whenever,连续函数,函数,在,连续,在,没有断点,Givenany,，thereexist(),Suchthat,whenever,断点,Jump,Infinite,removable,，则导数定义为：,注:,若,的导数符号记为：,导数信息完整，但不够简洁,导数的定义,简洁但求导信息不完整，复合函数求导易错,若f(x)在a,b连续，在(a,b)可导，则称f(x)在a,b曲线平滑,函数,在,可导：,（i）,（ii）,（iii）,在,无间断点,在,无转角,在,无急转弯,（iv）,
2、在,无剧烈振荡,不存在,函数可导,当,时，必须有,所以有：,导数,导数的几何意义,描述函数变化快慢,在几何上表示：,N点无限靠近M点时，割线变切线,横轴到切线的到角的正切（斜率）,有限次四则运算的求导法则:,(C为常数),常数和基本初等函数的导数:,函数的基础求导方法,函数的基础求导方法：,需牢记和深刻理解基本初等函数的求导公式,链式法则,替代法,盒子法,盒子法（）,所谓“盒子”，就是指“表达式”的“封装”，具有“整体性”,盒子相同（替代法）：,表达式一样,由基本初等函数构成,由基本初等函数构成,盒子,函数,如：,基本初等函数的求导公式用盒子法记忆,例如,记成,再如,记成,其它如法炮制,盒子不同（链式法则）：,表达式不一样,链式,链式,链式法则实质是乘以“1”,复合函数求导,在求导计算中“1”具有十分重要的地位,导出链式法则,例如对x求导：,(替代),例如对x求导：,(链式),(替代),(链式),微分dy的几何意义:,切线纵坐标的增量,微分和导数的运算基本相同,微分定义：,若,(A为不依赖于x的常数),则,微分,差量y的几何意义:,割线纵坐标的增量,differentia
3、ls,Initialerror,Exacterror,Approximateerror,时，,线性逼近式,例：,求,令,，则,，,因,取,，,所以,同理求,时，,令,时，,令,用,的值替代,的值,要求,微元,非均匀,均匀,的实质：,例如：,非均匀电磁场时，取微元化成均匀场,受力曲线运动做功，取微元，化“曲”为“直”,运动学的角度看，就是“挪”了一个位置,曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,弧线段,曲线上P点的曲率,的平均曲率,曲率与曲率半径,若,，则曲率半径,曲率半径的几何意义：,化“曲”为“圆”,曲率的向量定义法：,若曲线,，位矢,曲率可写为：,弧线切向量,证：,Frenet-serret公式,满足一阶微分方程,是弧长,是曲率(curvature),是扭率(torsion),是弧的切向,是弧的主法向,是弧的副法向,利用Frenet-serret公式，曲率和扭率(弧长为参数)：,曲线C：,曲率,扭率,级数,一元泰勒(Taylor)级数：,若,在,存在幂级数，,且,，,当,时，一元泰勒级数称为,Maclaurin级数,，且,则,不是一定等于泰勒展开式,例,因,同
4、理,的泰勒展开式为0,于是,所以,函数展开时，常常借用几个中学学过的精确展开式,应用举例,直接型：,间接型,微分（可多次）,积分（可多次）,时,又,级数间增长的快慢程度：,Sterling公式,二元泰勒(Taylor)级数：,若,在点,的某一邻域内连续且有直到,阶的连续偏导数,为此邻域内任一点,则有,Laulrent级数：,若复数,是函数,的孤立奇点，以,为圆心，,，在,闭合曲线,，那么,间的区域是解析的，满足：,距离R为半径作圆,且,任意小半径作圆,，以,跟最近的奇点,之间的,和,之间任作一,周期为2的三角函数形式傅里叶级数(fourier)：,式中,周期延拓（-，）,傅里叶展开,f(x)是周期为2的周期函数,式中,周期为2l的三角函数形式傅里叶级数(fourier)：,f(x)是周期为2l的周期函数,周期延拓（-l，l）,傅里叶展开,式中,周期为2l的复数形式傅里叶级数(fourier)：,f(x)是周期为2l的周期函数,周期延拓（-l，l）,傅里叶展开,函数的最值(Absolutextreme),函数的单调性,若在区间,
5、，恒有,，,则,单调递增,若在区间,，恒有,，,则,单调递减,，,则,单调递增，,，,则,单调递减，,凹向上,凸向上,f(x)弧线在切线上方,f(x)弧线在切线下方,若恒有,则,呈凹形,OR,若恒有,则,呈凸形,OR,若二阶导数为0,两侧二阶导数不变号，凹凸性不变,若某点二阶导数为0或不存在,两侧二阶导数异号，此点为拐点,函数的极值(localextremum),为函数f(x)的关键点(criticalpoint),若,或,不存在，,函数f(x)的极值点一定是关键点,但函数f(x)的关键点却不一定是极值点,如：,但,非极值,不存在，,非极值,则称,多元函数的条件极值（LagrangeMultipliers）,无条件极值只有函数本身定义域限制,有条件极值函数本身定义域限制+条件限制,若函数,的限制条件为：,想法：,把函数,看成变化的等高曲线簇,而限制条件,则为固定的等高曲线,极值必定取在两曲线相切的地方,函数垂直于其等高曲线的梯度,同样想法可得函数,在限制条件,的极值,几何上就是,位于,所在的平面,也可利用线性空间基底线性无关的概念：,函数,有两个限制条件,函数取
6、极值时,从而有：,这实际上也给出了有条件极值可化为无条件极值求解,此方法称为LagrangeMultipliers,可推广：,在限制条件,函数的最值,一维函数,函数在闭区间连续，函数才有最值,无最大值,无最小值,最值求法：,（i）,（ii）,找出关键点,比较函数在关键点和闭区间端点的函数值,的最值,或,不存在,查看关键点的二阶导数,极小值,极大值,（iii）,若,，且,方向导数,设,则,又,所以,于是,二元函数的最值,(i),找出关键点,或,不存在,(ii),查看关键点的二阶导数,若,函数在闭合定义域连续，二元函数才有最值,若,，另觅方法判断,若,，则有：,(1),(2),正定（,），,(3),为鞍点,为极小值,，,为极大值,，,X轴方向上凹向上,所有方向上凹向上,比较函数在关键点和定义域的边界点的函数值,（iii）,所以,时，,积分,n等分，,Riemannnsum,若,表示小长方形的面积和,，则,对于连续函数,对于连续函数,如果,，那么,全微分的应用,积分中值定理,离散型求和,连续型求和,定积分：,定积分代数意义：,求和与平均,定积分几何意义：,曲线与积分区间变量轴所围成的面
7、积(有正负),右手螺旋,定积分的性质：,若在,，有,，则,，则,，则,若,若,，则为偶函数，且,，则为奇函数，且,线性算符,计算n维物体的“体积”,2D,n维物体的体积,n-1维截面的体积,剩下的1维方向,n-1维,1维,例：右图的面积为：,3D,例：求球的体积,常取,为：,旋转体,水平截环状,竖直截柱状,积分是导数的逆运算，盒子法很方便,（C为任意常数）,不定积分,曲线簇,不定积分的性质：,且有,常数和初等函数的不定积分:,(k为常数),续,续,第二类换元法,第一类换元法,盒子法,分部积分法：,OR,第一类换元法,(所谓的配元法或凑微分法）,若有,初等函数积分：,求,则,，自然会想到,，自然会想到,常用配元形式:,第二类换元法,(所谓的参数法),若有,初等函数积分：,若,难求，而化成另一种形式,时，易求,求,则,，自然会想到,，自然会想到,常系数微分方程,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,一阶微分方程确定任意常数的条件：已知一点,二阶微分方程确定任意常数的条件：,
8、解微分方程实质是降阶,分类3:线性与非线性微分方程.,分类4:单个微分方程与微分方程组.,分类1:常微分方程,偏常微分方程.,分类2:,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,一阶微分方程有时也写成如下对称形式,（x与y对称）,可分离变量的微分方程,能化为,积分后得,求显式解只需解方程,或,称为隐式(通)解,表示成,若,，则称这方程为,齐次方程,分离变量,两端积分,还原变量,令,，即,，则,求出积分后，,代替u,齐次方程,再用,标准形式:,，上方程称为齐次的,，上方程称为非齐次的,一阶线性微分方程,当,当,1.线性齐次方程,分离变量法,齐次方程的通解为,2.线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比,设,为,，则,即,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,实质:未知函数的变量代换,作变换,用新未知函数,可推出原未知函数,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,将y和y代入原方程得,即,非齐通解=齐通解+非齐特解,伯努利方程,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,解法:需经过变量代换