效用：用来衡量个人对商品和财富的满足程度的一种度量。
效用的数学意义：如果用\(x\)来代表某件商品或一定数额的货币，这件商品或这些货币对某个人产生的满足程度或这个人的主观价值就称为\(x\)的效用，记为\(u(x)\)，称为效用函数。
效用原理：经济理论表明，商品或财富的效用随着其绝对数量的增加而增加，但增加的速率逐渐递减。
目前常用的效用函数族有以下几类：
这些效用函数的特点：单调增函数\(u'(x)>0\)，凹函数\(u''(x)<0\)。
决策者的风险态度根据效用函数的性质被分为三种类型：
在实际中，一个人的风险态度并不可能在任何情况下都保持同一类型。对于不同的风险，会有不同的风险态度。
风险厌恶系数：假设效用函数为\(u(\cdot)\)，定义决策者拥有财富为\(w\)时的风险厌恶系数为
风险厌恶系数反映了决策者对风险的厌恶程度，对风险越厌恶，则愿意支付的保费越多。
效用函数的风险厌恶系数都可以表示为\((\gamma+\betax)^{-1}\)，其中\(\gamma\)和\(\beta\)为参数。
保险业和保险定价：
期望效用原理：
被保险人利用期望效用原理决定愿意支付的保费：
保险人利用期望效用原理决定保单保费：
保险合同的制定和签订的过程：
在利用期望效用原理决定保费时，应注意以下几个问题：
证明若采用凹函数\(u(x)\)作为效用函数，则\(P^+\geq\mathbb{E}(X)\)。
由效用函数\(u(x)\)的凹性可知
根据期望效用原理，对于被保险人来说，当面临风险\(X\)时，愿意支付的保费\(P^+\)满足
结合以上两式，则有
由效用函数\(u(x)\)的单调递增性可知
例如：设某人财产在未来一个时期内不会遭到损失的概率为\(0.75\)，遭到损失\(X\)的概率密度为
再设决策者的效用函数为\(u(x)=-e^{-0.005x}\)。
(1)计算该决策者为得到全额保险而愿意支付的最大保费。
(2)若保单规定保险公司只赔偿实际损失的\(50\%\)，计算决策者愿意支付的最大保费。
设决策者当前的财产为\(w\)。
(1)由期望效用原理可知
代入效用函数和密度函数可得
整理后可得
解得该决策者愿意支付的最大保费\(P^+=200\ln(1.25)\)。
(2)设决策者愿意支付的最大保费为\(P^*\)，考虑购买保险和不购买保险两种情况：
若购买保险，决策者的财产的期望效用为
若不购买保险，决策者的财产的期望效用为
由期望效用原理，决策者愿意支付的最大保费应满足两者相等，即
解得决策者愿意支付的最大保费为\(P^*=200\ln(15/13)\)。
例如：假设一保险人使用参数为\(\alpha\)的指数效用函数，计算保险人愿意承接风险\(X\)的最小保费。
注：采用指数效用计算得出的保费被称为指数保费。
设保险人的财富为\(W\)，效用函数为\(U(x)=-\alphae^{-\alphax}\)，根据期望效用原理
例如：假设被保险人采用平方效用函数\(u(x)=10x-x^2\(w<5)\)。要承保损失为\(1\)发生概率为\(0.5\)的风险，计算被保险人愿意支付的最大保费。
设被保险人的财富为\(w\in[0.5]\)。
由期望效用原理可知
代入效用函数可得
解得
注意：
均值方差保费：设风险\(X\)的期望和方差分别为\(\mathbb{E}(X)=\mu,\{\rmVar}(X)=\sigma^2\)，设被保险人的财富为\(w\)，效用函数为\(u(x)\)，计算其针对风险\(X\)愿意支付的最大保费的近似解。
利用\(u(\cdot)\)在点\(w-\mu\)处泰勒展开的前几项，有
两边求期望可得
利用期望效用原理\(u(w-P^+)=\mathbb{E}[u(w-X)]\)可得
解得被保险人愿意支付的最大保费的近似解为
其中\(r(\cdot)\)为风险厌恶系数
这里的最大保费\(P^+\)的近似解仅依赖于风险的均值和方差，被称为均值方差保费。
不可保风险：假设决策者使用风险厌恶系数为\(\alpha>0\)的指数效用函数，风险\(X\sim\Gamma(n,1)\)，则有
若\(\alpha\geq1\)，则\(P^+=\infty\)，表示决策者愿意支付任何有限保费，这样的风险对保险人来说是不可保的。
注意：矩母函数不存在，说明风险尾部较重，对被保险人来说，面临这样的风险就会有产生巨大损失的可能性。
在保险实务中，为了防止投保人进行自我防灾防损意识以减少不必要的损失，通常不是全额承保。因此，保险合同规定的理赔通常都低于实际损失。
假设损失是\(X\)，理赔额视损失而定，是损失的函数，记作\(I(X)\)，满足\(0 期望效用理论告诉我们，在考虑最优的保险形式时，主要需要考虑两点： 在综合这两个因素的基础上才能作出合理的决策。 定理（停止损失保险的最优性）：给出如下的假设： 则最优的保险形式为停止损失保险，即 其免赔额为\(d^*\)，由均衡方程决定： 分析：考虑以下两种赔付形式： 因此，要证明对于任意的保险形式\(I(X)\)，有 证明：由效用函数的性质可知，对于任意的\(a,b\)，有 记\(a=w-P-(X-I(X)),\b=w-P-(X-I_d(X))\)，有 故只需证 由假设\(U''(x)<0\)可知，\(U'(x)\)为单调下降的函数。 考虑\(X\leqd\)的情况： 考虑\(X>d\)的情况： 所以 对于任意的\(I(X)\)，根据假设有\(\mathbb{E}[I(X)]=\mathbb{E}[I_d(X)]\)，即有 定理得证。 由于财产拥有人愿意支付的保费为\(P\)，故\(d^*\)由如下均衡方程决定： 例如：设决策者拥有\(10,000\)万元的财产，现面临潜在损失\(X\)，损失在\([0,1000]\)上均匀分布。假设决策者的效用函数为\(u(x)=\sqrt{x}\)，假设保费的计算采用均值计算，若决策者愿意支付的保费为\(200\)万元，计算什么样的保险形式能达到效用极大。 经检验，该问题满足定理条件，故停止损失保险形式\([X-d^*]_+\)达到最优，并且\(d^*\)满足 解得\(d^*=367.54\)万元。 Allais悖论是决策论中的一个悖论。设计这个悖论可以用来证明期望效用理论和理性选择公理本身存在逻辑不一致的问题。 考虑如下可能的资本收益： 考虑风险\(X\)和\(Y\)之间的选择，以及风险\(V\)和\(W\)之间的选择。 按照期望效用理论，风险厌恶者应该选择\(X\)和\(V\)，风险偏好者应该选择\(V\)和\(W\)，但实验中的大多数人选择了\(X\)和\(W\)。 在\(X\)和\(Y\)之间，很多人会选择\(X\)，假设初始财富为\(0\)，\(\mathbb{E}[u(X)]>\mathbb{E}[u(Y)]\)等价于 化简之后即得 在\(V\)和\(W\)之间，很多人会选择\(W\)，假设初始财富为\(0\)，\(\mathbb{E}[u(W)]>\mathbb{E}[u(V)]\)等价于 这两个不等式是矛盾的！ 上面的例子其实也不能完全说明问题，因为效用函数是相对风险而言的。对于不同的风险，即使是同一个人也会有不同的效用函数。因此，对于风险\(X\)和风险\(Y\)的效用函数是不同的。 可以肯定的是，期望效用并不总是能充分地描述决策者的行为。由上面的例子可以判断，完全没有风险的状态与期望效用指标相比，对决策者似乎更具有吸引力。这种吸引力诱导人们作出非理性的决定。