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2022.10.23河北
概率论是集中研究概率及随机现象的数学分支，主要研究对象为随机事件、随机变量以及随机过程。概率分布，是指用于表述随机变量取值的概率规律，它大致分为离散概率分布和连续概率分布两种。在本文中，我们将介绍以下12种分布：
符号:X~二项式(p)
参数：p是成功试验（0<=p<=1）
PMF=p(k)=
CDF=p(X<=k)=
平均值=
p
方差=
伯努利分布的PMF
伯努利分布的CDF
假设我有n个硬币。我在n次投掷中得到k个正面的概率是多少？
任何分布为二项分布的条件-
符号:X~Bl(p,n)
参数：n为试验次数，
p是成功试验
二项分布的PMF
二项分布的CDF
均匀分布是每个值（在域中或区间中）出现的概率相同的分布。
均匀分布的类型
根据分布中使用的随机变量的类型，有两种类型的均匀分布。他们是
离散均匀分布
符号：X~Unif(a,b)或U(a,b)
参数：其中a和b是整数，b>a
可能结果的数量表示为“n”并且（即，n=b-a+1）
PMF=p(X=k)=
CDF=p(X= 离散均匀分布的PMF 离散均匀分布的CDF 连续均匀分布 PDF=p(X=k)= 连续均匀分布的PDF 连续均匀分布的CDF 假设 符号:X~poisson(λ) 参数：λ，即任何事件发生的速率。 泊松分布的PMF 泊松分布的CDF 泊松分布的另一个性质是 如果 X1~poisson(λ1)和X2~poisson(λ2) （两者都是独立的） 然后 (X1和X2)~泊松(λ1+λ2) 符号:X~指数(λ) 参数：λ，它是任何事件发生的速率。 PDF= CDF= 指数分布的PDF 指数分布的CDF 指数分布的无记忆性 指数分布的随机变量T服从关系 Pr(X>s+t|X>s)=Pr(X>t) Pr（事件在40分钟内发生|等待30分钟）=Pr（事件在10分钟内发生） 当我们从未知分布的群体中抽取大量样本时，它遵循正态分布。 X~正常(m,p2) 其中μ是平均值 σ2是标准差 PDF=f(x)= CDF=F(x)= 平均值=E(x)= 方差=Var(x)= 正态分布的PDF 正态分布的CDF 经验法则或68–95–99.7法则 68-95-99.7规则或经验规则用于记住正态分布的区间估计值中的百分比。 68%、95%和99.7%的数值分别位于两侧第一、第二和第三标准差的区间内。 例如，我们有一个均值为150，标准差为25的正态分布，则1σ=25；2σ=50,3σ=75 68%的值位于区间[150–25,150+25]中（即[125,175]） 95%的值位于区间[150–50,150+50]中（即[150,200]） 99.7%的值位于区间[150–75,150+75]（即[75,125]） 注意：正态分布的平均值始终不是必须为0。它也可以是非零值。但是，一旦将值标准化，则均值变为0，标准差变为1。 标准正态变量(Z)和标准化 标准正态分布是均值为零，标准差为1的正态分布。 标准正态变量—Z分数是一种数值度量，用于描述一个值与一组值的平均值的关系。 如果我们有一个均值为0、标准差为1且服从正态分布的随机变量“Z”，则“Z”称为标准正态变量。表示为Z~N(0,1) 标准化是将具有均值“μ”和方差“σ2”的给定分布转换为均值为0、标准差为1的相同类型分布的过程。（即使方差也为1） 注意：标准化只是将给定的值分布转换为平均值=0和标准差=1的新尺度。分布的性质根本不会改变。（无论分布是高斯还是非高斯） X~LogNormal(m,p2) 如果X~LogNormal(m,p2) 然后y=log(x)并且y服从正态分布（自然对数） 对数正态分布的PDF 对数正态分布的CDF 对数正态分布始终呈正偏态。没有机会被负面扭曲。每个对数正态分布都是偏态分布，但每个偏态分布都不是对数正态分布。 对于对数正态分布，我们不能应用68-95-99.7规则，因为它不是高斯分布。但是一旦我们对一个对数正态分布变量应用一个自然对数，那么转换后的特征遵循正态分布，那么68-95-99.7规则就适用了。 如果“X”服从对数正态分布，则Y=ln(X)服从正态分布。Y~N(μ,σ) 根据正态分布， 68%的数据位于[m-s,m+s] 95%的数据位于[μ-2σ,μ+2σ] 99.7%的数据位于[μ-3σ,μ+3σ] 因为Y=ln(X)X=eY 所以'X'中68%的数据位于[eμ-σ,eμ+σ] 所以'X'中95%的数据位于[eμ-2σ,eμ-2σ] 所以'X'中99.7%的数据位于[eμ-3σ,eμ-3σ] 这里μ,σ是'Y'的参数 如何检查给定分布是否为对数正态分布 让'X'是给定的输入分布。让我们计算“X”值的自然对数并将它们表示为“Y”。（即，Y=ln(X)）。 对数正态分布的应用 为什么对数正态分布的峰值不被视为均值？ 正态/高斯分布是对称的，50%的值位于一侧 其余50%的值位于另一侧。所以我们可以说高斯分布的最高峰是它的平均值。 但是在对数正态分布的情况下，我们不能保证平均值是 因为曲线是不对称的，所以恰好出现在最高峰。 幂律是两个量之间的函数关系，其中一个量的相对变化导致另一个量成比例的相对变化，与这些量的初始大小无关。（即，一个数量随着另一个数量的力量而变化）。 幂律遵循80-20规则。在给定的分布“X”中，80%的分布值低于20%的“X”值。当分布遵循幂律时，该分布称为帕累托分布。幂律函数有一条长尾。帕累托分布适用于连续随机变量。 任何遵循幂律分布的分布称为帕累托分布。 帕累托分布的参数是 示例——80%的社会财富由20%的人持有。 帕累托分布PDF 帕累托分布的CDF 从PDF图中，我们观察到随着'α'值不断减小，尾部变得不那么粗。对于α→无穷大，PDF变为delta函数（即，具有单个值的垂直直线）。这里这个delta函数只在一个点有一个值，而在其他点上，它的值是0。这样的函数称为DiracDelta函数。 帕累托和对数正态分布的共同点是“两种分布都有少量较大的值和大量的较小值。但主要区别在于帕累托分布没有增加的PDF。 如何检查两个给定变量是否遵循幂律？ 检查两个给定变量是否遵循幂律的一种方法是使用对数对数图。如果'X'和'Y'是两个给定变量，那么如果我们用Log(X)在X轴上，Log(Y)在Y轴上做一个绘图，并且绘图收敛到一条直线，如图所示如图，那么我们可以说分布有幂律尾。（即，两个变量都遵循幂律）对数图上的直线是幂律的有力证据，直线的斜率对应于幂律指数。 如果发现分布是帕累托，可以应用box-cox变换将其转换为正态/高斯分布。 若n个相互独立的随机变量ξ，ξ，...,ξn，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-squaredistribution）： 。 分布在数理统计中具有重要意义。 分布是由阿贝(Abbe)于1863年首先提出的，后来由海尔墨特(Hermert)和现代统计学的奠基人之一的卡·皮尔逊(CK．Pearson)分别于1875年和1900年推导出来，是统计学中的一个非常有用的著名分布。 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度很大时，卡方分布近似为正态分布。 对于任意正整数x，自由度为u的卡方分布是一个随机变量X的机率分布。 卡方分布的概率密度函数为： 其中 。这里Γ代表Gamma函数。 概率密度函数 卡方分布的累积分布函数为： 其中γ(k,z)为不完全Γ函数 在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.orgCalc和MicrosoftExcel中都包括卡方分布函数。 自由度为k的卡方变量的平均值是k，方差是2k。卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为： 是双伽瑪函數。 累积分布函数 韦布尔分布，即韦伯分布（Weibulldistribution），又称韦氏分布或威布尔分布，是可靠性分析和寿命检验的理论基础。 威布尔分布在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。由于它可以利用概率值很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用于各种寿命试验的数据处理。 从概率论和统计学角度看，WeibullDistribution是连续性的概率分布，其概率密度为： 其中，x是随机变量，λ>0是比例参数（scaleparameter），k>0是形状参数（shapeparameter）。显然，它的累积分布函数是扩展的指数分布函数，而且，Weibulldistribution与很多分布都有关系。如，当k=1，它是指数分布；k=2且时，是Rayleighdistribution（瑞利分布）。 {\displaystyleE=\lambda\Gamma\left(1+{\frac{1}{k}}\right)\,}其中，Г是伽马（gamma）函数。 {\displaystyleVar=\lambda^{2}\left[\Gamma\left(1+{\frac{2}{k}}\right)-\Gamma\left(1+{\frac{1}{k}}\right)^{2}\right],} 累积分布函数曲线 在概率论和统计学中，学生t-分布（t-distribution）用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。 t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。 由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t值的分布称为t分布。