1.全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群
证不是一个群,因为不适合结合律.
2.举一个有两个元的群的例子.
证}1,1{-=G对于普通乘法来说是一个群.
3.证明,我们也可以用条件1,2以及下面的条件'
'
5,4来作群的定义:
'4.G至少存在一个右单位元e,能让aae=对于G的任何元a都成立
'5.对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元,1
-a能让eaa=-1
证(1)一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由eaa=-1
得eaa=-1
因为由'4G有元'a能使eaa=-'
1所以))(()('
11
1
aaaaeaa---=
eaaaeaaaaa====----'
1'
][)]([即eaa=-1
(2)一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即由aae=得aea=aaeaaaaaaea====--)()(1
即aea=
这样就得到群的第二定义.(3)证bax=可解取bax1
-=
bbebaabaa===--)()(1
这就得到群的第一定义.
反过来有群的定义得到'
5,4是不困难的.
2单位元,逆元,消去律
1.若群G的每一个元都适合方程ex=2
,那么G就是交换群.
证由条件知G中的任一元等于它的逆元,因此对Gba∈,有baababab===---111
)(.
2.在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.
证(1)先证a的阶是n则1
-a的阶也是n.eeaaeann
n
====---11
1)
()(
若有nm使eam=-)(1即eam=-1
)
(因而1-=eameam=∴这与a的阶
是n矛盾.aΘ的阶等于1
-a的阶
(2)
a的阶大于2,则1-≠aa若eaaa==-21这与a的阶大于2矛盾
(3)ba≠则11
--≠ba
总起来可知阶大于2的元a与1-a双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一
定是偶数
3.假定G是个数一个阶是偶数的有限群,在G里阶等于2的元的
个数一定是奇数.
证根据上题知,有限群G里的元大于2的个数是偶数;因此阶
2≤的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶2≤的元的个数一定是奇数.
4.一个有限群的每一个元的阶都是有限的.
证Ga∈
故Gaaaan
m
∈KKK,,,,,,2
由于G是有限群,所以这些元中至少有两个元相等:n
aa=)(nm故ea
n=-
mn-是整数,因而a的阶不超过它.
4群的同态
假定在两个群G和-G的一个同态映射之下,-→aa，a和-
a的阶是不是一定相同证不一定相同例如}2
3
1,231,1{iiG+-+-=}1{=-
G
对普通乘法-
GG,都作成群,且1)(=xφ(这里x是
G的任意元,1是-
G的元)
由φ可知G∽-
G但
2
31,231ii--+-的阶都是3.而1的阶是1.
5变换群
1.假定τ是集合的一个非一一变换,τ会不会有一个左逆元1
-τ,使得εττ=-1
证我们的回答是回有的},3,2,1{K=A
1τ:1→12τ1→1
2→12→33→23→44→34→5……
τ显然是一个非一一变换但εττ=-1
2.假定A是所有实数作成的集合.证明.所有A的可以写成babaxx,,+→是有理
数,0≠a形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群证(1):τbaxx+→
:λdcxx+→
:τλdcbcaxdbaxcx++=++→)(dcbca+,是有理数0≠caΘ是关闭的.
(2)显然时候结合律
(3)1=a0=b则:εxx→(4):τbax+)(1:1
a
bxax-+→
-τ而εττ
=-1
所以构成变换群.
又1τ:1+→xx:2τxx2→:21ττ)1(2+→xx:12ττ12+→xx故1221ττττ≠因而不是交换群.
3.假定S是一个集合A的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号τ:)('
aaaτ=→
来说明一个变换τ.证明,我们可以用21ττ:)()]([2121aaaττττ=→来规定一个S的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说ε还是S的单位元.证:1τ)(1aaτ→:2τ)(2aaτ→