我们把所有与整数a模n同余的整数构成的集合叫做模n的一个剩余类，记作[a].并把a叫做剩余类[a]的一个代表元.
二、与同余的关系
证明：对任意c∈[a],a≡c(modn),又因为a≡b(modn),所以b≡c(modn),从而c∈[b].
同理，对任意c∈[b],也可得出c∈[a].所以[a]=[b].
另一方面，又剩余类的定义可知，如果[a]=[b],则a≡b(modn).
三、剩余类的运算
剩余类加法：[a]+[b]=[a+b]
剩余类乘法：[a][b]=[ab]
剩余类环：如果模n的剩余类集合中定义了剩余类加法和剩余类乘法运算，就把它叫做模n的剩余类环，
记作：{[0],[1],[2]...[n-1];+,.}.
我们已经知道整数的加法、乘法满足交换律、结合律和分配律，剩余类的加法、乘法运算也满足交换律、结合律和分配律。
另外，在模n的剩余类环中，对任意的剩余类[a],恒有
[a]+[0]=[0]+[a]=[a]
[a][1]=[1][a]=[a]
[a][0]=[0][a]=[0]
这样，我们可以发现，[0]、[1]与整数集中的0、1有着相同的运算性质，我们分别把[0]和[1]叫做模n的剩余类环的零元和单位元。
同时，类比整数集中的相反数和倒数，我们引入模n的剩余类环的负元和逆元的概念。
四、负元和逆元
负元：
如果存在模n的剩余类[b]，使得
[a]+[b]=[b]+[a]=[0]
那么称[b]为[a]的负元.
逆元：
[a][b]=[b][a]=[1]
那么称剩余类[a]可逆,并把[b]称为[a]的逆元
五、逆元存在的条件
我们发现，并不是所有的剩余类都可逆，例如，模6的剩余类环中，[2]、[3]、[4]就不存在逆元。
什么情况下，一个模n的剩余类中的非零元[a]都有逆元
非零元[a]有逆元的充要条件是(a,n)=1
证明：
假设[b]为[a]的逆元
[a][b]=[b][a]=[1]<==>[ab]=[1]<==>ab≡1(modn)<==>存在整数t,使得ab+nt=1
必要性：[a]有逆元[b],由上面的推论知，存在整数t,使得ab+nt=1。而(a,n)|a、(a,n)|n<==>(a,n)|ab、(a,n)|nt<==>(a,n)|(ab+nt)
即(a,n)|1,所以(a,n)=1.
充分性：(a,n)=1<==>存在一对正整数b、t,使得ab+nt=1
于是ab≡1(modn)<==>[ab]=[1]<==>[a][b]=[b][a]=[1]
进一步探究，可知在模n的剩余类环中，若[a]存在逆元，则它的逆元有且仅有一个
[a]有两个逆元，分别是[b]、[c],则
[a][b]=[1]、[a][c]=[1]<==>ab≡1(modn)、ac≡1(modn)<==>n|ab-1、n|ac-1<==>n|a(b-c)