因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主
要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等
因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤
都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或
可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数
法、试除法、拆项（添项）等方法；。
注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。
一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)
二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因
式分解中常用的公式，例如：
(1)(a+b)(a-b)=a2-b2-----------a2-b2=(a+b)(a-b)；
(2)(a±b)2=a2±2ab+b2---------a2±2ab+b2=(a±b)2；
(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；
(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3--------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．
下面再补充两个常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
例.已知abc，，是ABC的三边，且222
abcabbcca++=++，
则ABC的形状是（）
A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形
解：222222222222abcabbccaabcabbcca++=++++=++
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：bnbmanam+++
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用
公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有
b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考
虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bnbmanam+++
=)()(nmbnma+++每组之间还有公因式！
=))((banm++
例2、分解因式：bxbyayax-+-5102
解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bxbyayax-+-原式=)510()2(byaybxax+-+-
=)5()5(2yxbyxa---=)2(5)2(baybax---
=)2)(5(bayx--=)5)(2(yxba--
练习：分解因式1、bcacaba-+-22、1+--yxxy
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：ayaxyx++-22
分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因
式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：原式=)()(22ayaxyx++-
=)())((yxayxyx++-+
=))((ayxyx+-+
例4、分解因式：2
222cbaba-+-
解：原式=222)2(cbaba-+-
=22)(cba--
=))((cbacba+---
练习：分解因式3、yyxx3922---4、yzzyx2222---
综合练习：（1）3223yxyyxx--+（2）baaxbxbxax-+-+-22
（3）181696222-+-++aayxyx（4）abbaba4912622-++-
（5）92234-+-aaa（6）ybxbyaxa222244+--
（7）222yyzxzxyx++--（8）122222++-+-abbbaa（9）)1)(1()2(+---mmyy（10）)2())((abbcaca-+-+
（11）abcbaccabcba2)()()(222++++++（12）
abccba33
33-++四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——))(()(2qxpxpqxqpx++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？
例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2
23xxa++能用十字相乘法分解因
式，求符合条件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求
24bac=->0而且是一个完全平方数。
于是98a=-为完全平方数，1a=
例5、分解因式：652++xx
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3
的分解适合，即2+3=5。12
解：652++xx=32)32(2
+++xx13=)3)(2(++xx1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数
的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：672+-xx
解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+xx1-1
=)6)(1(--xx1-6
（-1）+（-6）=-7
练习5、分解因式(1)24142++xx(2)36152+-aa(3)542
-+xx
练习6、分解因式(1)22-+xx(2)1522--yy(3)24102--xx（二）二次项系数不为1的二次三项式——cbxax++2
条件：（1）21aaa=1a1c
（2）21ccc=2a2c
（3）1221cacab+=1221cacab+=
分解结果：cbxax++2=))((2211cxacxa++
例7、分解因式：101132+-xx
分析：1-2
3-5
（-6）+（-5）=-11
解：101132+-xx=)53)(2(--xx
练习7、分解因式：（1）6752-+xx（2）2732
+-xx
（3）317102+-xx（4）101162++-yy
（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：2
21288baba--
分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相