一、像沃罗诺伊图一样，朝着可行的方向成长
如果树木能够感到灰心丧气的话，那么在自己的树枝碰到另一棵树的树枝、建筑边缘、来往的卡车或身旁的墙壁的时候，它们也许就会赌气不长了。但树木是不会灰心的。正相反，即使存在障碍，它们仍能欣然专注于自我成长。换句话说，它们或许会在碰到障碍的方向停止生长，但在其他可行的方向上仍会继续生长。
生长过程中的树冠可以用数学中的沃罗诺伊图来模拟。根据“样点”将二维平面分割成被称为“单元”的区域，就得到了沃罗诺伊图。这些单元区域都用凸多边形表示，凸多边形是以直线段为边、所有内角均小于180°的多边形。
“样点”则由点来代表。沃罗诺伊图可以描绘出森林中匀速生长的树木的鸟瞰图：样点是每棵树干的中心点，而单元区域则是每个树冠覆盖的范围。在以下四张插图中，第四张图就是根据第一张图中种子的分布而得到的树冠沃罗诺伊图。
在沃罗诺伊图中，距离一个单元内的任何一个点最近的样点永远是这个单元的样点。沃罗诺伊图中边界线上的点则与相邻单元的样点等距。
沃罗诺伊图的应用并不限于林业。有些极为漂亮的沃罗诺伊图就“藏”在眼皮底下，等待着你去注意。在某地农场摊位上出售的蜂巢中，有序的六边形可以用沃罗诺伊图来建模，只要在图中按规则放置样点即可。长颈鹿身上的斑纹和蜻蜓翅膀上细密的翅脉勾勒出的纹路都可以用沃罗诺伊图来表示。那么，泥土干裂后由裂缝形成的不规则多边形呢？对，那也是沃罗诺伊图。
二、在哥尼斯堡的桥上，一步步走出答案
在18世纪，生活在普鲁士哥尼斯堡（现俄罗斯加里宁格勒）的人们非常喜爱在这座美丽的城市中散步。普列戈利亚河穿过哥尼斯堡，河中心有两座小岛——克内普霍夫岛和隆塞岛。这两座小岛由七座桥和主城区相连，如下图所示。
传说记载，这座城的居民喜欢寻找一条散步的路径，以便从某个地方开始，只穿过每座桥一次，然后返回起始的地点。下页图是他们可能尝试过的一些路径。
没有一位居民能成功地找到这条理想的路径，因此，很多人认为它根本不存在。哥尼斯堡附近一座城市的市长和数学家莱昂哈德·欧拉讨论起了这道难题。之后，欧拉在给他同为数学家的朋友乔瓦尼·马里诺尼的信中提到：
如今，图论家会用所谓的“图”来建模哥尼斯堡七桥问题。一张图由一些被称为“顶点”的点和连接这些点的被称为“边”的线组成。边包含了有关路径、连接或关系存在的信息，但不包含这些连接或关系的距离或强度。比如说，如果用点来表示哥尼斯堡的每块陆地，用线来表示每座桥，这个图可能看起来像下图这样。
另一个图论家可能会用另一张完全等同的图来描述完全相同的哥尼斯堡七桥问题（见下页上图）。
当然，数学家们更喜欢用变量代替长长的桥名，以得到更整洁的图。因此，你可能会用“A”来表示普列戈利亚河北岸，用“B”来表示克内普霍夫岛，用“C”来表示隆塞岛，用“D”来表示普列戈利亚河南岸（见下页下图）。
下面这张简图表达了每块陆地与连接它们的桥的位置信息，但没有表达每块陆地的大小或桥的长度。事实上，图与地图的另一个不同之处在于，图不能表达任何关于方向的信息。因此，你不能由下面这张图得出克内普霍夫岛在隆塞岛的西边的结论。
用如今的图论语言来说，哥尼斯堡的居民们想要知道的是，在一张包括了城市中的桥和陆地的图中，包不包含一条所谓的“欧拉回路”。欧拉回路是一条从图的某一顶点（图上的某个点）开始，经过且仅经过所有边（图上的线）一次，最后回到起始顶点的路径。值得注意的是，虽然只能经过每条边一次，但可以多次经过某个顶点。
当时，我成功地找出了一笔画出这个图形且仅通过每条边一次的画法。但是，我找不到一种让终点与起点为同一个顶点的画法。用图论的语言来说，这条路有一条欧拉路径，却没有欧拉回路。
欧拉的直觉告诉他，这个“平平无奇”的哥尼斯堡七桥问题有着开启一个全新数学领域的潜力。在解决这个问题的时候，欧拉想要找的是拥有欧拉回路的图所具有的特征。首先，图必须是连通的。如果一张图不是连通的，那么该图的一部分与另一部分就没有边来互相连接，结果就是：必定没有一笔画出这张图的办法。
当然，就像“打着X的房屋”的例子所展示的，不是所有连通的图都有欧拉回路。欧拉也注意到，每当一条路径通过一个顶点时，它会用到两条边。
意识到这一点后，欧拉得出了结论：在拥有欧拉回路的图中，所有顶点都必须具有偶数条边。例如，我童年时画的那张“房屋图”里有一个有两条边的顶点、两个有三条边的顶点，以及两个有四条边的顶点。
由于这张“房屋图”中不是所有的顶点都有着偶数条边，因此这张图没有欧拉回路。
描述哥尼斯堡七桥问题的图就是一张连通图，因此它的确可能拥有欧拉回路。但可惜，这张图有一个有五条边的顶点和三个有三条边的顶点。因为图中存在有奇数条边的顶点，所以这张图并没有欧拉回路。
也就是说，在哥尼斯堡老城中，没有能仅穿过每座桥一次而后返回起始点的路线。
最后，欧拉成功地证明了，上述两个条件不光是图拥有欧拉回路的必要条件，同时也是充分条件。换句话说，如果一张图拥有欧拉回路，那么这必定是一张连通图，且其中每个顶点都有偶数条边。
如今，计算机科学家利用图论对网站之间的连接乃至整个互联网进行建模。神经科学家用图论来理解大脑的架构。在社交媒体上，人与人之间的关系同样也能用图来建造模型。
图论也是电子病历和基因组测序中要用到的数学知识。城市规划师建模交通，生物学家建模疾病传播，社会学家建模谣言传播路径，都要用到图论。人类是幸运的——哥尼斯堡的居民们通过一步步“走出”的实验解决了他们的数学难题。下一次，你在人生或数学中遇到难关时，不妨考虑一下像这样一步步地解决自己的问题。你永远不会确切知道，自己的努力能得到什么样的收获。
三、最短路径未必是直线：全面思考问题
从美国波士顿到英国牛津的最短路径是什么？航班的乘客们会把这个问题留给飞行员。想要省油、省时的飞行员又是如何确定这条最短路线的呢？简单起见，假设地球是一个完美的球形。记住，如果可能的话，连接波士顿和牛津的最短路线实际上是一条穿过地球的直线隧道。
由于地球表面是曲面，飞行员必须沿一条弯曲的路径从地面上方飞过。在航空杂志里，这条路线往往长得像下图这样。
当然了，这张图是把三维世界里的实际路线画在二维的杂志页面上，所以它并不准确。而且，这条曲线也并非唯一的选择。到底哪条是最短的曲线呢？
在地球表面上找出穿过这两座城市的最大圆，我们要选择的就是在这个圆上连接这两座城市的那一部分曲线。这个圆圈像赤道一样绕了地球一圈，但并不一定要和赤道重合，它叫作“大圆”A。
换句话说，从波士顿到牛津的最短路径是穿过波士顿和牛津的大圆的一部分。
如何证明波士顿到牛津的最短路径一定是穿过这两座城市的大圆的一部分呢？首先，下面是几条连接波士顿和牛津的路径。
图上每条弯曲的路径都可以延伸出一个圆。注意：连接波士顿和牛津的弯曲路径的形状决定了该圆的面积。
所以，怎么找到波士顿和牛津之间的最短路径呢？找到“最不弯曲”的那条路。如何找到最不弯曲的那条路？找到穿过波士顿和牛津的大圆中连接两座城市的那部分曲线。这条“最不弯曲”的路的长度，最接近那条穿过地球连接两座城市的直线隧道的长度。
理解数学或生活问题的途径可能就像连接两座城市的最短路径一样，并非如直线一般直截了当。即使“最直接”的方法就像从波士顿到牛津的直线隧道那样不可企及，只要我们愿意全面思考所有的可能性，最终仍能找到答案。
四、终端速度：按自己的节奏前行
重力以约9.8m/s2的加速度将物体“拉”回地面。也就是说，在真空环境里，无论一个正在坠落的物体有多重，它在空中每停留一秒，其下坠的速度就会增加9.8m/s。比如说，一个保龄球和一根羽毛在真空中的重力加速度是一样的；但当保龄球和羽毛在非真空的地球大气中下坠时，它们就会受到空气阻力。当加速下坠时，它们会撞上空气分子，加速度因此也变得不同。结果就是，在空气中，保龄球要比羽毛下坠得更快。
每个下落物体都有一个速度。当它受到的空气阻力等于该物体的重力时，其下落速度就不变了。也就是说，当物体达到重力与空气阻力平衡的状态时，它也就不会再加速。当物体以该速度恒速运动时，这一速度就被称为该物体的“终端速度”。不同物体的终端速度各不相同。物体的重力让它在下坠时对空气产生作用力，而物体的面积决定其受到的空气阻力——面积越大，阻力越大。
当一个从空中下落的人打开降落伞时，阻力增加，因此降低了终端速度。
当你想在数学学习中掌握自己的节奏时，不妨想一想能从下落的物体身上学到什么。无论是顺利前进还是遭受“阻力”，你和同龄人的速度都可能截然不同。以自己的节奏前进吧！你的目标应该是找到属于自己的“终端速度”——等待遇到的阻力与消耗的力量相等的那一刻吧！
五、毛球定理：放弃完美主义
数学家们经常会说：“你不可能完全抚平一个毛球。”这句话抓住了“毛球定理”的精髓——虽然这个名字有点儿滑稽，但它是一个真正的数学定理。想要理解毛球定理，你首先要了解数学家中那些被称为拓扑学家的人所说的“球”是什么意思。凡是可以通过拉伸或收缩，且无须切割或黏合就可变为球形的物体，都被视为一个球。在脑海里想象一个用可塑性材料（如黏土）做的玩具牛（这个玩具牛没有用来消化和排泄的消化系统），由于你可以通过拉伸或收缩，且无须切割或黏合就可以把这头牛捏成球形，因此拓扑学家会认为它和球之间没有区别。
但是，球和甜甜圈就不是等价的，因为如果不在球上戳个洞，就无法得到甜甜圈的形状。
接下来，你需要理解一个叫作“连续向量场”的数学构造。你可以把一个向量理解为一个有特定长度和方向的箭头。以下都是不同的向量。
某一平面上（如纸面或球面）的向量场，是赋予那个平面上所有的点一个特定的向量。例如，下图就是在一张矩形纸面上的向量场。
要注意的是，所有向量场拥有的向量数量比上面那张草图里画出来的多。换句话说，向量场中每一个点都有它所对应的向量。为了填补这张向量场草图上的空白点，不妨想象（最好还是画出来）其中有更多遵循已有规律的向量。比如，上面那张草图所描述的向量场中还可以添加更多的向量。
如果一个向量场被称为“连续的”，那就意味着你可以放大该向量场中的任意一个点，并且观察到这里的所有向量都看起来方向一致。上图所画的向量场就是连续的。下面这张图说明，这个向量场里的3个点经过检查，成功地满足了这个条件。当然，要决定一个向量场是否连续，我们必须检查向量场中的每一个点。
有时候，你会在一个向量场中看到一个不是箭头的点。向量场中的点被称为“零向量”，代表向量场中的“消失点”。向量场中的点常常能突出向量场的不连续性。在一个不连续的向量场中，存在着至少一个点——无论如何放大这个点，我们都不会看到所有向量指向同一方向。下页是两个不连续向量场的例子。
气象学家经常通过在地球模型表面放置描绘风的箭头来创建向量场：箭头的方向表示风向，箭头的长度表示风速，长箭头表示强风，短箭头表示弱风，没有箭头则表示无风。
请记住，向量是直的，而球体的表面是弯曲的。因此，球面上的每一个向量与球面只有一个接触点，即向量起始的那个点。
当用球面向量场来表示地球上的风场时，毛球定理的意义在于，它表明地球上总有至少一个地方没有风。我们已经知道，本章开头提到的玩具牛和球在拓扑学家眼中没有区别，因此你也可以把这个定理改写为：“每头（玩具）牛都有一根梳不平的乱毛。A”也就是说，无论怎样梳理玩具牛身上的毛，最后总会留下至少一根竖立着的毛。
对于我们这些憧憬完美的人来说，一想到毛球抚不平，就会觉得有些不安。
毛球定理提醒我们，所谓“完美”往往是不切实际的目标。无论在数学研究还是在人生中，尽力而为往往就足够了，甚至是令人满意的。尽力做到最好，哪怕你的“最好”并不完美。
六、莫比乌斯带：探索的乐趣
一颗网球有两个面——里面和外面，且没有边。如果你的体型小到可以在网球上行走，那么你只能站在网球外面，因为没有路可以让你走进网球里面。
一张纸也有两个面——正面和背面，还有分隔正、背两面的边。如果你的体型小到可以在一张纸的正面上漫步，那么想到达纸的背面就必须越过那条边。
现在想象一下，你在另外两个物体上行走：一条环形带和一条莫比乌斯带。
你应该把这两样东西都做出来，再继续思考。制作步骤很容易，还能提高对即将到来的问题的探索能力。制作一条环带，要先从一条纸带开始——它的具体大小实际上并不重要，你只需要做一条足够长的长方形纸带就行；然后，把两条短边粘到一起，你就得到了一条环形带。
要制作一条莫比乌斯带，也要先从一条长长的纸带开始。这一次，在把两条短边粘到一起之前，要先把纸带旋转半圈。看，一条莫比乌斯带做好了！
就像之前思考网球和纸张的面和边一样，思考一下环状带和莫比乌斯带的面和边。先从在环形带的一条边上“散步”开始。你注意到了什么？
你在“散步”的时候，可能会注意到自己所在的边与环形带上另一条独立的边有所不同。如果你想从所在的边走到另一条边，那你就得从这条边上走下来，穿过环形带的一个面，才能到达另一条边。
同样，如果你在环形带的一个面上，而且只想在该面上随便走走，那就不用跨越任何一条边。但你若想到另一面去——分开的、独立的第二个面——就得跨越其中一条边。根据上述在环形带上散步的思想实验，你就能确认环形带不光是看起来，实际上也确实有两条边和两个面。
到现在为止，你的研究已经表明了如下信息。
可以看到，所有这些物体都有两个面。也就是说，它们要么有里面和外面，要么有正面和背面。停下来想一想：有没有物体只有一个面呢？只有一个面的物体是什么样子的
你能想象得出这样一个物体吗？如果想不出来，不妨试着在莫比乌斯带上探索一下。从莫比乌带的其中一面开始——你可以试试用一支笔来描出你的路
线。你在莫比乌斯带上沿这一面行走，这时你发现了什么？你是不是只有跨越一条边才能到达另一个面？
如果你无法在莫比乌斯带上找到到达另一面所需跨越的一条边，那是因为它根本没有“另一面”。莫比乌斯带是一个只有一个面的物体。
现在来确定一下莫比乌斯带有几条边。用笔沿着莫比乌斯带的一条边上走，直到回到出发点。你注意到了什么？
你在行走时已经把所有边都涂上了颜色——没有另一条边。莫比乌斯带是一个有着一条边和一个面的物体。
你对构成有序世界的事物的概念依赖直接的经验。如果你只接触过有里面和外面的物体，或者有正面和背面的物体，那么当你发现一个有里面但没有外面，或有正面但没有背面的物体时，你会感到非常惊讶。对数学和生活追求的探索将拓展你的视野。当你的世界观得到扩展之后，你会呼吸更顺畅，拥有更多微笑。毕竟，你现在已经知道了，有一种东西是片面的、单边的。
七、博弈论：尽可能合作
在数学领域，博弈论中所谓的“博弈”是一场决策者之间的策略互动。让我们看一个著名的博弈论例子：囚徒困境。在这个故事里，一个歹徒和同伙抢了银行。抢完之后，歹徒把钱藏在了银行门外的一个垃圾箱里，然后开着车飞快地逃走了。在离银行不远的地方，歹徒被抓住了，同伙也被抓了。他们被带到警察局，关在不同的房间里。由于他们都持有枪械，两个人可能都会被指控非法持有武器。尽管警察高度怀疑他们抢了银行，但没有足够的证据在二人不认罪的情况下进行指控。当歹徒和同伙被分开关押的时候，二人都收到了以下条件。
●如果歹徒和同伙都承认抢了银行，那二人将因非法持有武器和抢劫银行入狱，但可以各自减刑到2年；
●如果歹徒和同伙中只有一人承认抢了银行，那么承认的人可以完全免于入狱，但未承认的人将因非法持有武器和抢劫银行服满3年刑期；
●如果歹徒和同伙都不承认抢银行，那么警方将没有足够证据起诉他们抢银行的罪行。在这种情况下，二人将因非法持有武器而各服刑1年。
你可以把这些信息组织到一个图表中。
假设两人之间没什么真感情，歹徒的唯一目标是尽量减少自己的服刑时长，那他会怎么做呢？是承认，还是不承认？
在二人不能交流的情况下，要考虑一下同伙可能采取的行动。思考一下，如果同伙不承认的话，会发生什么。
如果同伙不承认，歹徒要么入狱1年（如果他也不承认），要么不用服刑（如果他承认）。因此，如果同伙不承认，那么他最好的选择是承认。
下面来考虑一下如果同伙承认了，会发生什么。
如果同伙承认了，歹徒要么入狱3年（如果不承认），要么入狱2年（如果也承认）。因此，若是同伙承认，那么歹徒最好的选择是也承认。
无论同伙选择什么——不承认或承认——在不能和同伙商量的情况下，最佳选择都是承认。同样想降低自己服刑时长的同伙也会使用类似的逻辑。因此，同伙也会承认。当两个人都承认时，他们将各自入狱2年A。囚徒困境有意思的地方在于，基于独立个体决定的最终结果并不是最佳的整体结果。也就是说，如果可以和同伙交流与合作的话，两人会决定都不承认，来获得每人1年的刑期，而非2年。
囚徒困境是博弈论中的一个思想实验，但它在现实中也有应用。换句话说，在人际、商业或政治谈判中，人、机构和国家之间进行合作是明智的选择。比如，两个国家不同意合作裁减核武器，得到的结果将可能比采取合作的结果更糟糕。在数学学习和生活中，合作之路与单打独斗相比，可能会通往更好的结局。
八、无字的证明：那就……画个图
文字是美好的，除非它把问题复杂化了。有时候，一张图能比一堆文字更清楚地表达出一个问题的实质。比如，思考以下这个问题：“前100个正整数之和是多少？即1+2+3+…+98+99+100=”当卡尔·弗里德里希·高斯还在上小学时，他的老师向学生们提出了这个问题。老师本希望这道题能让学生们忙活上一阵子。大多数学生使用的是一种耗时的方法——一项一项加起来，但高斯快速地画了几张草图。几分钟之后，他就得到了正确的答案：5050。
画草图可以启发你的思考。假设你需要证明：
你能在少用或完全不用文字的情况下画图证明吗？唤醒你玩积木的经验吧！想象一下，你正在一边玩积木，一边默默观察。先排列一下积木块，表示出，也就是。如果你愿意画图的话，就不需要用到真实的积木块了。然后，试试在不添加也不减少积木块的情况下，把积木块重新排列，让它们直观地表达出。
不要忘记，你的大脑有能力以不用计算的方式思考。画图有时候能激发你的大脑产生有意义的思路。