摘要：本构方程是塑性力学解决问题不同于弹性力学的一大不同点，本文从主要描述塑性变形问题的两个本构理论出发，借鉴现有理论和实验结果，对比增量理论和全量理论的优缺及各自在工程中的适用性。
关键词：塑性力学；增量理论；全量理论；有限元法
引言
塑性力学和弹性力学之间的根本差别在于弹性力学是以应力与应变成线性关系的广义胡克定律为基础的。而塑性力学研究范畴中，应力与应变一般成非线性关系，而这种非线性的特征又不能一概而论，对于不同的材料，在不同的条件下，都具有不同的规律。塑性变形的基本规律是建立在实验的基础上，根据实验结果简化抽象出塑性状态下应力与应变关系的特征。
与弹性力学比较，主要影响塑性力学本构方程的有以下几点：
应力与应变之间的关系是非线性的，其比例系数不仅与材料有关而且与塑性应变有关；
由于塑性变形的出现，弹塑性材料在卸载时，体元的应力-应变状态不能沿原来的加载路径返回，应力与应变之间不再存在一一对应的关系，而与加载历史有关；
变形体中可分为弹性区和塑性区，在弹性区，加载与卸载都服从广义胡克定律，在塑性区，加载过程服从塑性规律而卸载过程服从广义胡克定律。
因此在塑性力学发展初期，最初提出的是以增量方法来讨论应力增量与应变增量之间的关系，它不受加载条件的限制，但在实际计算过程中，需要按加载过程中的变形路径进行积分，计算比较复杂。Hencky于1924年提出的全量理论在实践中使用方便很多，但全量本构关系仅能应用于特定情况，及体元应力-应变过程为单调过程，不能描述弹塑性变形规律全貌。
1.增量理论
塑性应力应变关系的重要特点是非线性和非简单对应，非线性及应力与应变关系不是线性关系，非简单对应及应变不能由应力唯一确定。在材料变形的塑性阶段，
应变状态不仅由应力状态决定，还由整个应力变化过程决定。
材料进入塑性变形阶段，任一点的总应变由弹性应变和塑性应变组成：
epijijijεεε=+
当外载荷有微小增量时总应变也有微小增量，其为弹性增量与塑性增量之和，因此有：
peijijijdddεεε=-
根据静水压力实验，提出假设：塑性应变不引起体积改变。在平均正应力作用下，物体的变形只包括弹性变形；在应力偏量的作用下，不发生体积改变，物体产生弹性变形和塑性变形，及在塑性状态，材料不可压缩，体积变形等于零：
0pijdε=
pijijdsdελ=
其中dλ为非负的标量比例常数，且根据加载过程的不同而变化。
由于体积变化是弹性的，平均正应变的塑性分量等于零。总应变为弹性应变分量与塑性应变分量之和，故总应变增量与应力偏量有如下关系：
12ijijijdedssdG
λ=+根据屈服条件可求得dλ，当应变增量为已知，可唯一求出应力偏量。另外，当材料接近理想塑性材料，塑性变形阶段可忽略弹性应变。
塑性应变增量与应力偏量的关系表达式与胡克定律在形式上相似，不同之处在于含有应变增量和流动因子dλ，整个讨论过程涉及到塑性变形过程的不可压缩性和塑性变形的非线性，及其对加载路径的依赖性。
2.全量理论
弹塑性小变形的本构关系是比弹性力学的本构关系更广义的关系，既包括弹性极限内的关系也包括弹性极限外的关系。全量理论企图建立与弹性力学本构关系相类似的本构关系，即与加载路径无关的本构关系。
根据弹性变形中应力与应变关系的特点，可知全量理论需采用如下假定：
应力偏量与应变偏量按比例增长，即满足简单加载（或比例加载）条件；应力主方向与应变主方向一致，且应力（或应变）主方向始终保持不变。
根据E.A.Davis等人的薄壁金属桶承受拉伸和内压实验结果可知，在简单加载或偏离简单加载不大的情况下，尽管应力状态不同，但应力应变曲线都可以近似地用单向拉伸曲线表示，这一假定（单一曲线假定）把复杂应力状态的应力应变曲线和一维的应力应变曲线联系在一起。
根据简单加载条件，有ijijSHe=(H为可变的刚度系数）；根据单一曲线假定，引入()σσε=，代表简单加载实验得到的某种材料的应力强度与应变强度的关系，其中
σε==
==
()32,23HHσεσεε
===即因此应力偏量和应变偏量的关系为：()23ijijSeσεε
=，将此偏量关系与弹性的体变关系3mmKσε=结合起来即可得全量形式的本构关系：
()2133ijmijij
kkijijkkijSKσσδσεεδεεδε=+=+-
塑性全量理论从理论上讲，不适用于简单加载不成立的情况，但是由于该理论比用增量理论方便，它等价于求解一个非线性弹性力学的问题，因此很多人试图将它应用于各种复杂加载情况。大量实际问题的分析表明，对于一些偏离了比例加载路径的问题，采用全量理论可以得到与增量理论相近的结果，比如失稳问题。对于薄板的塑性失稳问题，用全量理论计算的结果甚至比用增量理论计算的结果更接近于实验结果。但在处理三维塑性问题时，塑性流动规律复杂，全量理论还无法很好的解决。
3.基于增量理论的有限元法
对于弹塑性问题进行有限元分析，平衡方程和几何方程都是线性的，但本构方程是非线性的，需用迭代方法求解。另外，由于应力和应变的非线性关系，应力和位移也是非线性关系，所以用节点位移表示的平衡方程也不是线性的。
基于增量理论的塑性变形本构方程为{}[]{}[]{}1
dDddεσλασ-=+。
三维空间问题弹性矩阵[]D为：[]11211212112121211210212EDμμμμμμμ
μμμμμμ---------=+
对称增量关系式{}[]{}[]{}1dDddεσλασ-=+两边同乘[][][]TDσα得到
[][][]{}[][]{}[][][][]{}TTT
DdddDσαεσασλσαασ=+。
加载时有[][][][][][]0TTddσασσασ==，故[][][][][][][][][][]T
TPDdDdDσαελσαασ==。
如果把弹塑性应变增量和应力增量之间的关系近似的表示为{}[]{}epDσε=，其中[]epD为弹塑性矩阵（[][][]epPDDD=-），是元素当前应力水平的函数，与增量
无关。
为了做到线性化的目的，采取逐步增加载荷的方法（荷载增量法），在一定应力和应变的水平上增加一次载荷，而每次增加的载荷要适当的小，以致求解非线性问题可以用一系列线性问题所代替。在加载过程中，弹塑性问题和非线性弹性问题在本质上是一样的，在卸载过程中，只要将弹性矩阵[]D代替[]epD成为线弹性问题。
基于全量理论的的有限元计算方法，不同于增量理论之处在于，荷载是一步加