老教材对勾股定理的教学要求是：（1）使学生掌握勾股定理及其逆定理；（2）能够熟练地运用勾股定理，由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长，会用勾股定理判断一个三角形是不是直角三角形。
由上可知，新课程下的勾股定理在已知直角三角形两边求第三边中，给出的两边数据相对于老教材简单得多，删去了烦琐的计算过程，勾股定理逆定理的理论证明，利用勾股定理的逆定理解题的数据均不会过大，通过古埃及的结绳来说明，省去了烦琐的证明过程。新课程中加强了勾股定理的实际运用，利用勾股定理及逆定理解决实际问题成了重点，例如：“蚂蚁怎样走最近”这一节突出了勾股定理及逆定理的实用性。书中提供了较为丰富的历史或现实的例子，来展示它们的应用，体现它们的文化价值，并且在知识发生过程中，作了较高要求。
二、教学中应注意的问题及建议
1.重视实际情景
新课程创设实际情景，让学生感受到现实生活中勾股定理的应用，从实际情景抽象出勾股定理。因此，建议为学生创设丰富的实际情景，使学生经历知识发生的过程。在证明勾股定理逆定理中，可将一根绳子打上13个结，将绳子分成12等分，让三位同学上讲台，一位同学握住第1和第13个结，一位握住第4个结，一位握第8个结，创设此情景，让学生自己思考、分析，从而判断此三角形为直角三角形，最后归纳出勾股定理逆定理。
2.重视数形结合
新教材里，勾股定理的探索和验证过程中，数形结合有较多体现，渗透了代数运算与几何图形之间的关系。因此，建议在教学中应注意渗透这种思想，鼓励学生从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示，有助于学生认识数学的内在联系。例如：在探索勾股定理过程中，应引导学生由正方形的面积想到a2、b2、c2，而在勾股定理的验证过程中，教师又应引导学生由数a2、b2、c2想到正方形的面积。
3.重视实际应用
对于勾股定理，新教材不仅要求能从实际情景中抽象出勾股定理，而且要能将它用于实际问题中，从而体现出数学的应用价值。因此，建议在教学中充分利用教科书中的素材让学生体会这种应用，如古埃及人利用结绳的方法做出直角，利用勾股定理求出蚂蚁的最短路线等。
4.重视学生经历探索勾股定理的过程
新教材中安排了探索勾股定理、验证勾股定理、探索直角三角形的条件等活动。因此，建议在教学中不要直接给出结论，要鼓励学生，通过观察、实践、推理、交流等获得结论，发展空间观念和推理能力。例如教科书设计了在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动，教师应引导学生通过由特殊到一般的探索得到结论。
5.重视自主探究与合作交流
新教材自始至终为学生提供自主探索、合作交流、积极思考的空间和机会，课堂上引导学生主动参与探究或学习，激发学生学习数学的兴趣，调动学生的积极思维，督促每个学生都在这个过程中积极参与，从而培养探索与创新的精神。
6.重视爱国主义的渗透
关键词：勾股定理；教科书；呈现方式；教学建议
一、勾股定理史话概述
据史书记载，中国的大禹在治理洪水的过程中利用勾股定理测量两地的地势差，是世界上有史记载的第一位与勾股定理有关的人，又有研究表明：古巴比伦时期数学泥版文献中的一些几何或代数问题表明，勾股定理早在公元前两千年就在两河流域的美索不达米亚文明中得到了广泛应用。在中国古代，勾股定理的特例以及一般情形的叙述见于公元前2世纪成书的天文数学著作《周髀算经》“故折矩以为勾广三，股修四，经隅五”，这是说长方形当宽3、长4时，对角线长为5，已明确直角三角形最简单的边长关系，《周髀算经》经文中已经包含了勾股定理的一般证明。在稍后一点的《九章算术》一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》说：“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为：弦2=勾2+股2，即：c2=a2+b2。2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会徽就是赵爽所用的弦图。刘徽的证明见于他的《九章算术》注“勾自为朱方，股自为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂”。刘徽原图已失传，清代数学家李锐（1769-1817）对其作了复原。
二、三种版本教科书中勾股定理的呈现方式的比较
勾股定理作为数学界的一朵奇葩，在中学数学课程中占有重要的地位。因此，当今应用比较广泛的三种版本教科书，分别是人民教育出版社版、北京师范大学出版社版以及华东师范大学出版社版（以下分别简称人教版、北师版以及华师版），对于勾股定理的讲解都有着各自的特色。
1.勾股定理的引入。三版教科书在勾股定理这一章的开始阶段，都介绍了中国有关勾股定理的数学史。从而能够激发学生对于中国数学以及数学家的自豪感，满载激情与兴趣投入到新课的学习中。人教版数学教科书给出了毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。给出相应的图形，引导学生自己去发现这种数量关系。加入了西方数学史内容，让学生对数学的认识更加广阔。在北师版数学教科书中，给出了一个具体的实际生活中的例子，引导学生自己去探讨。在华师版数学教科书中，利用经常使用的两块直角三角板三边长度的测量去发现直角三角形三边的关系。良好的开端是成功的一半。一个成功的新课引入，要包括以下几部分：①能吸引学生的注意力；②能激发学生的学习兴趣；③能承上启下，使学生有目的地进入新课的学习；④能为新课的展开创设学习情境。人教版数学教科书引入方面的设计包括了这四个部分，尤其利用毕达哥拉斯的例子，引导学生进行新课的学习。
2.勾股定理的过程展示。新课讲解的过程展示，是数学学习的过渡与理解的重要环节。教学过程的展示就是一个体现材料，呈现语言、知识以及任务的过程。人教版数学教科书通过赵爽弦图体现了数学材料，把数学史很好的结合到了课堂中，让同学们理解与认识勾股定理背后的文化意义，对于学生文化素养的提升具有着积极的作用。北师版和华师版数学教科书则发挥了学生的主动性，让学生自己去发现新知识，体现了新课改的主题。各教科书各有所长，从不同方面让学生认识与理解勾股定理。
3.勾股定理的习题设计。习题是数学学习中对数学知识的复习巩固与升华的重要环节。在三版数学教科书中，习题设计都和实际生活相联系，也就是体现了数学知识的实际应用。勾股定理的证明方法有很多种，人教版与华师版数学教科书直接就给出了一般的习题，而北师版数学教科书则加入了数学史，比如，“如图是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它验证勾股定理吗？”，“意大利文艺复兴时代的著名画家达芬奇对勾股定理也曾进行了研究”等等。这就多了精神与文化层次的内容，激发了学生的学习兴趣以及对文化发展的探索。课程标准明确指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习的重要方式。因此，习题的功能也应与之相匹配。而数学史的融入能够起到很好的促进作用，让学生带着对数学史的认识与探索，去自主发现、实践、探索与交流知识，从而极大的促进了数学学习的热情，自己也能发现与得到伟大数学家探索到的知识。
4.勾股定理的阅读材料。数学教材中阅读材料内容丰富、图文并茂，集趣味性、知识性、史料性、教育性于一身，是对教学内容的补充和拓展，是对学生进行思想教育的极好内容。因此，好的全面的阅读材料对数学学习起到极大的推动作用。人教版数学教科书中的阅读材料是勾股定理的证明，涉及了毕达哥拉斯的证明、弦图的另一种证明以及美国总统Garfield对勾股定理的证明。北师版数学教科书的每一小节后，都有相应的数学阅读材料供学生阅读，涉及到了勾股世界、勾股定理的“无字证明”以及勾股组数与费马大定律，让学生能够全面地了解勾股定理的文化背景。华师版数学教科书中阅读材料包括勾股定理史话和美丽的勾股数。其共同特点是通过阅读材料，对学生进行数学史教育，渗透了德育教育，从而使学生对数学家的成就产生自豪感，从而起到督促自己学习的作用。不同的就是材料的选取，人教版的阅读材料仅从证明方面对勾股定理作了补充介绍，而北师版和华师版阅读材料涉及的面很广，不仅介绍了勾股定理的证明，更多地体现出了勾股定理发现与发展这一长远历史背后的文化，让学生能够整体把握勾股定理的发展历程。
三、勾股定理的教学建议
参考文献：
[1]林群.义务教育课程标准实验教科书数学（八年级下）[M].北京：人民教育出版社，2008.
【关键词】数学活动；动手操作；合作交流；数形结合
教材简介：
本课教材选自苏科版《数学综合与实践活动（八上）》初中数学教材中勾股定理与平方根一节。
教材分析：
勾股定理是初中数学教学中一个非常重要的定理，之前学生们运用方格纸，通过计算面积的方法探索了勾股定理。本课不只要求学生掌握验证方法，更重要的是通过丰富有趣的拼图活动，通过教师的指导、同伴的合作和学生亲自动手剪纸、拼图、验证等一系列数学活动，体会数形结合的思想，体会勾股定理的数学价值和文化价值。
教学目标：
1.经历综合运用已有知识解决问题的过程，在此过程中加深对勾股定理、整式运算、面积等的认识。
2.经历不同的拼图方法验证勾股定理的过程，体验解决同一问题方法的多样性，进一步体会勾股定理的文化价值。
3.通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进数学学习的信心。通过丰富有趣的拼图活动增强学生对数学学习的兴趣。
教学重点难点：
重点：通过拼图验证勾股定理及勾股定理的应用过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法经验。
难点：利用数形结合的方法验证勾股定理。
教学方法：
引导、操作、合作、探究，多媒体辅助教学
教学过程：
本节课主要是通过几个活动让学生体验并探究勾股定理的一些验证方法，首先通过情景创设激发学生探究的激情。
情境创设：
1.你知道勾股定理的内容吗？说说看。
画直角三角形并写出勾股定理的表达式。
2.你知道关于勾股定理的哪些历史故事？你知道勾股定理的来历和有多少种证法吗？
课件展示毕达哥拉斯的雕像图片和地砖图片，讲述毕达哥拉斯发现勾股定理的故事。
3.前面我们运用方格纸，通过计算面积的方法探索了勾股定
理。今天我们再来探究勾股定理的其他验证方法。
活动一：
活动准备：用硬纸板各剪4个完全相同的直角三角形（不妨设两直角边分别为a、b，且a≤b，斜边为c），再剪2个边长分别为c和（b-a）的正方形。
活动要求：你能选用这些中的部分图形拼成一个大正方形吗？
你能用拼成的图形验证勾股定理吗？
学生小组合作交流探究并展示。（了解学生拼图的情况及利用自己的拼图验证勾股定理的情况。教师在巡视过程中，相机指导，并让学生展示自己的拼图及让学生讲解验证勾股定理的方法，并根据不同学生的不同状况给予适当的引导，引导学生整理结论。）
通过对弦图的分析，得到面积的关系
c2=（b－a）2＋4ab化简得：a2+b2=c2
课件介绍三国时期东吴人赵爽的“勾股圆方图”，也称为“弦图”，并出示赵爽弦图和世界数学家大会会标。
活动二：
四个直角三角形还可以怎么摆成正方形呢？
学生先独立探究，再小组活动交流，并上黑板展示拼图方法和验证：由面积关系得到：（a+b）2＝c2＋4×ab，化简得：a2+b2=c2。
活动三：
你能用两个直角边分别为a、b，且a≤b，斜边为c的直角三角形和一个直角边为c的等腰直角三角形拼图并验证勾股定理吗？
如图：两个全等的直角三角形ABC和BEF的三边长分别为a、
b、c可得面积关系（a+b）2＝c2＋2×ab
化简得：a2+b2=c2
课件介绍：“总统证法”――美国第二十任总统伽菲尔德。
活动总结交流：活动二和活动三的证法其实完全相同。
课件展示与欣赏毕达哥拉斯证法和印度婆什迦罗的证明，并让学生展示课前查找资料了解到的证明方法。
活动四：制作五巧板验证勾股定理。
步骤：
1.做一个RtABC，以斜边AB为边向内做正方形ABDE，并在正方形内画图，使DFBI，CG=BC，HGAC，这样就把正方形ABDE分成五部分①②③④⑤。
沿这些线剪开，就得了一幅五巧板。
2.取两幅五巧板，将其中的一幅拼成一个以C为边长的正方
归纳小结，形成技能。今天这节课你有何收获？
（如验证勾股定理的方法、数形结合的数学思想、我国古代科学家的成就、合作交流的方法与经验………）
课后作业：
上网查找有关利用拼图来验证勾股定理证明的方法，每人至少能说出一种与本课提到的不一样的方法，若有好的方法可用小论文的形式写出来。
教学反思：
本课的教学设计中，让学生通过制作拼图，通过动手操作，合作交流，发现问题，让学习内容问题化，让教材成为学生核心学习活动鲜活的材料。
【关键词】勾股定理；体验探究；勾股定理的证法；剪切拼图法；风车证法；勾股数组
一、创设思维情境，引出并体验勾股定理
数学教学是师生之间、同学之间交流、互动与共同发展的过程.我们的教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的情境，引导学生通过实践、思考、探究、交流，主动地丰富自己的数学知识和能力。为此，在我的教学过程中将自己所任课的班分成5个研究性学习小组，各组有人负责，并聘请老师参加和指导。
勾股定理是一个古老而有趣的问题，几乎每位同学都知道“勾三股四弦五”这个定理的特例。即若直角三角形两直角边长分别为3和4，斜边长为5，则存在32+42=52这种关系。
在RtABC中，记AB=a，AC=b，AB=c，是否存在a2+b2=c2这种关系呢？为体验这个事实，我们再作些直角三角形，并测量所求结果。
（1）a=5，b=12，c=___.
（2）a=2，b=4，c=___.（精确到0.1）
（3）a=6，c=10，b=___.
（4）b=24，c=25，a=___.
第（1）、（2）题，作直角三角形，测量的结果分别是13，4.5，第三题可先作直径为10的半圆，量出弦BC=6，测得b=8，且∠ACB为直角。第（4）题与第三题类同，测得a=7。
体验是“人们存在的方式”，是人的“素质形成与发展的核心环节”，只有让学生在学习过程中不断体验，才会激起学生无休止的好奇心、探索欲和创造力。经过上述反复体验，得到勾股定理：在RtABC中，若a、b为直角边长，c为斜边长，则：a2+b2=c2。
进而得到勾股定理的逆定理：在ABC中，三边长分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则：ABC为直角三角形。
二、探究勾股定理的证明
老师可提前布置各小组同学，去寻找勾股定理的不同证法和广泛应用。在数学课（或研究课）上，各小组可指派代表发言和演示，给出他们研究和探索的结果，经过师生互相交流，大家对勾股定理的证明和应用全面认识和深刻的理解。总结各小组的证法如下：
证法一：将四个全等的直角三角形平铺拼图（如图1）如大正方形的面积与四个直角三角形的面积之和，则有：（a+b）2=c2+4×■aba2+b2=c2
证法二：将四个全等的直角三角形平铺拼图（如图2），则：c2=（a-b）2+4×■aba2+b2=c2
证法三：将并排的两个正方形进行割补（如图3）将剪掉的标有1、2、3的三角形填补，在大正方形的1、2、3处。由面积等式，则：a2+b2=c2
证法四：利用射影定理证明，在RtABC中，由射影定理：
AC2=ADAB，BC2=DBAB
AC2+BC2=ADAB+DBAB
=AB（AD+DB）
=AB2
下面给出比较著名的两个证法――证法五（如图4）和证法六（如图5）
在图4中，因为分割长直角边上的正方形，使其形如风车，所以这一方法称为“风车证法”。“风车证法”的剪拼步骤如下（如图6）：
作正方形的中心O；
过O做直线垂直AB交正方形的两边与M、N；
过O做直线垂直MN交正方形的另外两边与P、Q；
沿线段MN、PQ剪开即可。
至于为什么MN要垂直AB，我可以从平移变换的角度来考虑。简单的说，那是因为四边形BMOP经平移变为GFAH，OM平行AF；AF垂直AB，也即OM（MN）垂直AB。
在众多剪拼方法和证明方法中，有的人还提出了一些不够直观甚至是错误的方法，对于这些方法也不要轻易放弃，教师要珍重每位同学构思出来的方法。即使做法和结论是错误的，我们也要找出错误的原因，从中吸取经验和受到启发。要通过观察、思考、动手试验等过程引导学生不断探究新的数学内容和数学方法。
三、勾股数组
我们把满足x2+y2=z2的三个正整数x、y、z叫勾股数。（x、y、z）叫做勾股数组。如果（x，y，z）=1，则这样的勾股数组叫做基本勾股数组。例如：（3，4，5），（5，12，13），（12，35，37）等都是基本勾股数组，而（6，8，10）不是基本勾股数组.容易看出，若（x，y，z）是一个基本勾股数组，则（kx、ky，kz）都是勾股数组。
我们把边长为勾股数的三角形叫做勾股三角形。这里我们又得到另一个应用。
定理：勾股三角形的内切圆的半径一定是整数.
证明：设RtABC的内切圆半径为r，则r=■
由于勾股数a、b、c不能同时为奇数，所以a+b-c为偶数，从而r为整数。
许多数学问题规律性很强，我们总希望用一些定理或公式找到更多的基本勾股数组，这里将我们师生探究勾股数得到的结论给出来。设Rt的直角边长为x，y，斜边长为z，且n，s，t都是正整数，则勾股数组有两类：
x=2n+1y=2n2+2nz=2n+2n+1或x=2sty=s2-t2z=s2+t2
列表如下：
从表中我们发现，第一类勾股数满足（x，y，z）=1，都是基本的，但不是全部的.第二类勾股数组不是基本的，但它对第一类给以补充。我们还发现许多有趣的结论，如：x，y，z不可能都是奇数，它们中可以有一个偶数或全部是偶数。再如：（x，y，z）是基本勾股数组，则x，y中必有一个能被3整除，等等。
在勾股定理的学习过程中，给我们带来的启示很多，首先是这个古老问题有探究不尽的课题。它的不同证法，广泛的应用以及勾股数的趣味性给我们拓宽了眼界，打通了思路，不仅是对知识的传承，更多的是激发了我们师生对数学产生了浓厚的兴趣，获得更多更好的数学知识和数学方法，提高了空间想象能力和创造性思维。
【参考文献】
一、教学内容分析
本节课以勾股定理解决实际问题为载体，通过对它的学习和研究，体现数学建模的过程，帮助学生形成应用意识，其应用的广泛性让学生激发出学习数学的兴趣，能让学生体会到学数学、做数学、用数学的快乐.
二、教学过程设计
1.情境引入
师：暑假里我走过两座桥――润扬大桥和南京长江三桥（多媒体显示两座桥的图片），这两座桥的夜景非常美丽，我们来仔细观察一下，这两座桥有什么共同的特征？
这两座桥都是斜拉桥，斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角三角形，如果我们知道了索塔的高，怎样计算拉索的长呢？这就是我们今天要学习的勾股定理的应用――生活篇.（师板书课题：2.7勾股定理的应用）
2.简单应用
师：到了南京第二天，我决定去游玩玄武湖，到达中央路时，我发现玄武湖东西向隧道与中央路北段及龙蟠路大致成直角三角形（如图1）.从B处到C处，如果直接走湖底隧道BC，将比绕道BA（约1.36千米）和AC（约2.95千米）减少多少行程（精确到0.1千米）？
生1：根据勾股定理可以求出BC的长度，然后用AB与AC的和减去BC，所得的结果就是减少的行程.
评析这是一次旅行，由公路与隧道引出，贴近学生的生活，激发学生继续探索下去的兴趣.引导学生观察路线的最佳选择方案，通过运用勾股定理，从而解决实际的问题.
师：进入玄武湖，我们看到几只小鸟停在树上欢快地歌唱，其中一只小鸟从一棵树飞到了另外一棵树上.这两棵树之间相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，那么这只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端至少要多少米呢？
生2：作辅助线得到直角三角形，可以求出两条直角边分别为5米和12米，由勾股定理可以求出小鸟飞行的最短距离为13米.
评析对于没有直接给出直角三角形的实际问题，通过已知条件在图形中构造直角三角形，从而运用勾股定理解决问题.
3.深层拓展
师：我们继续前行，看到满池的荷花，忽然想到南宋诗人杨万里的一首绝句“接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红”.在池塘边有几个游人正在那里摘荷叶，由于靠岸边的荷叶都已经被摘掉了，只能去采摘离岸更远的荷叶.这一幅场景让我想起了《九章算术》里的一道题目，叫作“引葭赴岸”.
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”
“有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′.水深和芦苇长各多少尺？”
生3：可以看出这个图形（图2）里有直角三角形ACB′，但只知道CB′的长度为5，还有AC与AB′的关系，可以设AC=x，则AB′=x+1，利用勾股定理可以求出x的值.
4.巩固训练
师：经历了这一次南京之旅，我们学到了很多知识，下面让我们运用这些知识来解决这样一道生活中的问题.
如图3，一架长为10米的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米.如果梯子的顶端下滑1米，那么它的底端是否也滑动1米？
评析学生经过前面两题的训练已经掌握了此类题目的解法，即找出两个量之间的关系，从而根据勾股定理列出方程，解决实际中的问题.通过本题加深学生对勾股定理应用的理解.
5.提升总结
师：通过本节课的学习，你对勾股定理有怎样的新的认识？你有什么收获？
评析让学生再一次回顾勾股定理在实际生活中的应用，总结本节课中所用到的数学思想方法.将实际问题通过构造直角三角形转化为数学问题，从而通过勾股定理来解决.6.课后延伸