女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
复杂的几何设计是伊斯兰艺术的一个常见特征。在此，我们将探讨这一流派的历史背景，追溯到伊斯兰教在早期征服拜占庭领土时遇到的柏拉图主义和希腊新柏拉图主义的影响（尤其是欧几里得的巨大贡献）。
此外，现代分析显示了数学方面的关系。这种分析自然会导致使用计算机图形来呈现图案。
伊斯兰艺术中的几何模式
复杂的几何图案是伊斯兰艺术和建筑的一个众所周知的特点，同时它还喜欢高度对称的排列方式。但这种模式的起源是什么？这种广泛的风格倾向究竟反映了伊斯兰精神的哪些方面？严肃的伊斯兰艺术史学家自然不愿意对伊斯兰装饰形式的演变妄下结论——鉴于考古证据的匮乏，这是可以理解的。但很明显，一千多年来，伊斯兰领域内的许多民族和种族持续使用强烈的对称布局和高度几何化的装饰方式，一定有其原因，而且是令人信服的原因。下面将对这一问题的各个方面进行探讨。
理论、问题和证据
任何关于"伊斯兰几何设计"的讨论都应考虑到这一主题的广泛性。从整个伊斯兰世界几个世纪的发展历程中汲取了大量的实例，显然，这是一个不宜一概而论的主题。但是，在欣赏这种艺术形式的内在品质的同时，并不总是对其进行应有的认真评价。事实上，不得不说，作为伊斯兰装饰艺术的一个主题，"几何模式"所经受的无端解释和误解远远超过了其应有的份额。其中比较常见的有：
1.采用几何和"阿拉伯花纹"图案完全是因为《古兰经》禁止造像；
2.认为这些图案是根据某种潜在的象征意义设计的；
3.认为理论数学家参与了这些图案的创作。
第一种说法显然有一定的影响基础，因为伊斯兰教严格遵守《出埃及记》第20章第2条诫命（"不可为你造像......"等）。但是，这种解释本身完全不足以解释为什么会出现这种特殊的形式。至于其他命题，没有任何证据表明伊斯兰几何图案或植物图案中使用了任何形式的象征主义，也几乎没有证据表明前者与纯数学学科有任何联系。
很有可能，审美优先顺序的确定以及参与更宏大计划的不同机构的贡献可能存在巨大差异。不过，在阿拉伯式花饰和几何图案的细节方面的创新通常都是由工匠向上发展的，这一点似乎是最有可能的。这是一门装饰性的游戏艺术，主要源于艺术家/工匠个人的创造才能，他们热衷于用自己的创造技能给赞助人（和他们的同行）留下深刻印象，无论是在他们使用的特定媒介上，还是在他们设计的精致性和复杂性上。在伊斯兰艺术和手工艺中，精湛的技艺一直备受推崇。
至于对数学家在几何图案创作方面提供适当建议的程度的猜测，同样，有少量证据表明，数学家通过编写供工匠阅读的几何手册（见下文），甚至偶尔举行跨学科会议的形式提供了此类建议，但似乎更有可能的是，创作这些图案的人通常依靠自己非正式的、非学术性的平面几何工作知识，而这些知识显然相当丰富。伊斯兰艺术和建筑形成时期的建筑师都没有传记，更不用说工匠了，而后者留下的详细工作实践的文献也很少，这也不足为奇。此外，也没有任何迹象表明他们受到了任何一种总体理论的影响。在这门艺术中扮演重要角色的几何图案、阿拉伯式花饰和书法，通常都是在世代相传的作坊传统中创造出来的。
图1：伊斯兰艺术的"装饰典范"由三种不同的元素组成（书法、纯几何图案和阿拉伯式花饰），它们都以无穷无尽的形式出现。这种艺术完全是无名的，它违背了艺术家最崇高的使命，即把精神从世俗的羁绊中解放出来"。(Kühnel1949）
伊斯兰艺术与其他伟大文化的艺术作品一样，都具有使人一眼就能认出的风格特征——但创造这些独特文化品质的确切特质却往往不那么容易确定（Wade2018）。当然，伊斯兰教对几何装饰的偏爱是其特征的重要组成部分，也是让人一眼就能辨认出来的原因之一——但这种艺术表现形式本质上是一个更广泛主题的组成部分，即对称。当然，许多其他文化也使用对称，但在伊斯兰教中，对称是一个必要条件。伊斯兰艺术不仅仅是充满了几何对称——这是它的核心原则。这个话题的首要问题必须是：为什么以及如何形成的？
我们冒着被指责为前文提到的那种以偏概全的风险，对于几何模式在伊斯兰艺术和建筑中的起源和持续使用，我们自己的直觉是，它在某种程度上反映了古典哲学传统的美学理想，而这种美学理想在其发展的早期阶段就已被彻底吸收到伊斯兰的主流思想中。当然，我们指的是始于毕达哥拉斯、由柏拉图巩固并由后期古典主义的"新柏拉图主义者"延续的思想推测。伊斯兰教扩展到希腊化的古代晚期这一领域的事实意味着，新柏拉图主义是伊斯兰教接触到的第一种主要哲学，后来伊斯兰教将其中的许多主题纳入了自己广阔的哲学视野。事实上，希腊古典哲学在很大程度上成为了伊斯兰传统的一部分。在伊斯兰教的形成时期，柏拉图和亚里士多德的许多思想尤其被认为是可以接受的，甚至完全符合伊斯兰教的核心信仰。
柏拉图思想流派的一个核心概念是理想形式与美之间的联系，它专注于几何形式的纯粹性，将其作为这些概念的一种表现形式，这似乎与伊斯兰艺术的主要主题有着密切的关系。早在伊斯兰教出现之前，希腊作家普鲁塔克就像一位真正的毕达哥拉斯主义者一样，将几何与柏拉图传统中的灵性联系在一起——"几何的作用是将我们从感官和堕落的世界引向理智和永恒的世界。因为对永恒的思考是哲学的目的，正如对神秘的思考是宗教的目的一样"。还有比这更完美的描述吗？在千百年来的伊斯兰世界中，几何图案种类繁多，其背后的深层意图以及对这一模式的不断艺术探索过程是什么？在我们看来，这一流派以其纯粹的几何图形，在欧几里得平面的舞台上不断上演着对称的舞蹈，是典型的柏拉图风格。至于这些崇高的哲学思想是如何传播给生活在社会底层的工匠的，当然完全是另一回事......。
象征意义
正如前文所述，我们很容易将象征意义赋予我们称之为"伊斯兰装饰典范"的传统形式剧目，即在伊斯兰世界的艺术和建筑中以这种或那种形式出现的书法、阿拉伯式花纹和几何元素剧目。这很诱人，但却是误解。尽管有各种与此相反的说法，但这些形式很少带有任何象征性或教义性的联系。事实上，伊斯兰艺术始终避免使用象征意义——但由于不愿接受这一事实，导致近来对这一流派的各种误读，尤其是对其几何方面的误读。其中包括神秘主义/宗教解释，包括涉及神秘的"宇宙学"和占星术象征意义的庸俗的"新时代"解释；几何结构中不太可能使用的魔方；以及赋予特定的教义关联——所有这些都是没有实际证据的归因。会讲阿拉伯语的Wasma'aK.Chorbachi在研究了数百幅原始作坊图后，发现其中没有任何关于神秘学、占星学或宗教象征意义的内容（Chorbachi，1989年，第771页）。事实上，最近对这一体裁象征意义的错误归因似乎正是因为它在西欧（或其他任何地方）的艺术中没有真正的对等体裁。
至于教义方面的联系，乔纳森·布鲁姆认为，到了法蒂玛王朝（什叶派）后期，纯粹的阿拉伯式样和几何图形的趣味占据了统治地位，在伊斯兰国家的其他地方也是如此。他确信这些图案和装饰方式与教义无关（Bloom2007）。同样，特里·艾伦（TerryAllen）也写道，没有证据支持几何图案被理解为阿拔斯王朝和逊尼派的"象征"这一说法（Allen2004）。希拉·布莱尔（SheilaBlair）则宣称，在她看来，圆形文字和几何图形的神圣化与十世纪的宗教宗派主义毫无关系（Blair2006）。
事实上，到10世纪时，几何图案、阿拉伯式花饰和书法已成为伊斯兰艺术的既定特色，而且这种装饰典范在伊斯兰教义的制定过程中经历了各种纷争，并得以发展和延续。无论是否存在"逊尼派复兴"，这些形式都已成为一种国际伊斯兰风格。由于蒙古人的入侵造成了这一时期考古证据的匮乏，大量的阿拔斯艺术和建筑在蒙古人的入侵中被毁，因此有关这一风格发展的特殊艺术史问题变得异常复杂。不过，要了解几个世纪前实际创作作品的艺术家/手工艺人和建筑师的心态，总会遇到更多普遍的困难。与文化态度或世界观产生共鸣的风格总是从下而上产生的，而不是从上而下刻意强加的。谁知道每个工匠的真正想法是什么呢？归根结底，作品本身才是最重要的。伊斯兰装饰中的许多几何图形、阿拉伯式花饰和书法变化就像伊斯兰精神本身一样独一无二，并具有深远的文化共鸣和自身的意义。
早期伊斯兰艺术：伊斯兰审美情趣的出现
因此，最早的重要伊斯兰建筑项目，特别是耶路撒冷的圆顶寺和大马士革的大清真寺，旨在与最令人印象深刻的基督教圣地相媲美，甚至胜过它们，也就不足为奇了。当然，它们也是伊斯兰教地位上升的象征，在建造这些纪念碑时，穆斯林显然对圣地的功能和外观有了自己的想法。但此时新的统治者仍是少数，因此受委托建造和装饰这些纪念碑的建筑师、建造者和艺术家/工匠很可能主要是基督徒。因此，穆斯林统治头几十年中这些建筑和其他建筑的装饰方面特别有趣，因为它们显示了伊斯兰独特的审美偏好（Al-Khalili，2010年；Freely，2009年；Kennedy，2005年）。
上述两座古迹最显著的特点之一就是使用了大面积的精细马赛克壁画。这些壁画的主题大部分是繁茂的植物造型，其意义和含义并不完全清楚，但在这两处古迹中，这些装饰很可能指的是穆斯林对信徒来世天堂的憧憬。岩石穹顶上精致的、风格化的植物造型来自于晚期的古代造型，并被镶嵌在宝石状装饰和书法的延伸带中。大清真寺的马赛克比岩石穹顶晚建约15年，其马赛克更具有表现力，包括辉煌花园中的异国建筑、流淌的河流和婀娜多姿的树木。但是，这两座纪念碑都没有基督教意义上的圣像——事实上，根本没有人或动物的形象，穆斯林显然认为这些主题在这样的宗教环境中是完全不合适的。
图2：大马士革乌玛亚德大清真寺的窗花图案明显源自晚期古典模式，但似乎表明伊斯兰世界对图案的使用更具活力
伊斯兰教的希腊继承：数学、科学和哲学
毕达哥拉斯是伊斯兰数学研究的领军人物。诚然，其中掺杂了希腊和印度的元素，但一切都是从新毕达哥拉斯的观点出发的。(DeBoer1903）
倭马亚哈里发统治下的早期穆斯林将大马士革作为他们的行政中心，他们对希腊人的博学水平以及埃及和叙利亚的总体文明生活水平印象深刻。这一地区曾被罗马统治了7个世纪，是希腊文明的继承者，自公元4世纪以来一直信奉基督教。当伊斯兰教于公元7世纪末进入这一地区时，人们仍在传授早期古典和希腊化时代的希腊科学和文学（尽管是通过基督教的视角过滤的），以及柏拉图和亚里士多德的哲学。起源于这些哲学的新柏拉图主义对这一环境产生了持久的影响（Morewedge，1992年）。
伊斯兰教第二大哈里发王朝阿拔斯王朝（伊斯兰教第三个世纪）所谓的巴格达黄金时代的特点是，不仅对希腊知识，而且对帕提亚和印度知识的翻译都异常热衷。但是，即使到了著名的智慧之家（Baytal-Hikma）在巴格达成立（公元830年）的时候，伊斯兰知识分子对柏拉图、亚里士多德和普罗提诺等重要人物的熟悉程度也不亚于拜占庭世界的知识分子。基督教和犹太教早先对古典思想进行的调整促进了这一进程，可以说，这些调整"净化"了古典思想中的异教色彩，使其更容易为伊斯兰教所接受。
巴格达宫廷圈对希腊思想的日益熟悉使人们产生了一种由衷的钦佩之情，尤其是对那些涉及哲学/科学和数学主题的文本。欧几里得、阿波罗尼乌斯和阿基米德的作品尤其受到极大的尊重。数学家al-HajjajibnMatar在哈伦·拉希德统治时期（公元786-809年）将欧几里得的著作翻译成了阿拉伯语（他后来为自己的儿子、未来的哈里发马蒙提供了简略但经过改进的版本）。
公元9世纪，巴格达作为哈里发王朝的首都，是伊斯兰世界的知识、宗教和商业中心。这是一个科学和医学创新非凡的时期，其发展往往与哲学推测有关。伊斯兰知识分子对古典数学和几何学原理的理解加深，自然而然地产生了自信感，使他们能够不断进步，并在必要时纠正其杰出前辈的论断。在哈里发·马蒙统治时期（公元813-833年），数学、天文学、地理学和医学等领域的新著作明显增多。这些著作往往远远超出了单纯的翻译。一个新的伊斯兰学者阶层出现了，他们能够对希腊著作进行注释，并越来越多地参与原创性研究。例如，在天文学方面，对托勒密《天文学大成》的研究促使马蒙制定了一项计划，以验证现有星图的准确性。这反过来又促成了官方天文学家的任命，并在巴格达和大马士革建立了天文台--为伊斯兰教与这门科学长达700年的合作奠定了基础（其巨大成就为现代天文学做出了巨大贡献）。翻译运动本身在公元10世纪末或多或少地结束了，这主要是因为现有的一切都已翻译完毕，但同时也因为此时伊斯兰科学已经真正建立了自己的体系，并产生了大量原创作品。
在巴格达的"黄金时代"，最令人瞩目的成就之一是尝试精确测量地球的周长，这是阿尔·马蒙个人感兴趣的一个项目，这也表明了当时科学探索的普遍精神。第一次尝试是对伊拉克西北部辛贾尔的一片平坦沙漠进行精确测量，比较测量过程开始和结束时北极星的高度，然后根据角度差计算地球的曲率。结果是8000farsakhs（24,000英里），并由第二次考察进行了检验，在当时是非常准确的。
哈里发马蒙亲自聘用了著名的数学家和天文学家阿赫瓦里兹米，他的许多成就中包括将印度数字引入阿拉伯数学。阿赫瓦里兹米还开发了我们现在所知的代数（al-Jebr）程序，并将自己的名字命名为"算法"。此时的巴格达宫廷中洋溢着一种令人振奋的亲科学氛围，但在这种早期伊斯兰的环境中，不可避免地会出现理性与信仰的调和问题。哈里发对宗教界对他的原理性主义观点的批评越来越多，他的回应是推广被称为穆塔济勒主义的神学，认为安拉的道德义务是理性思维可以理解的，而且由于知识源于理性，后者应该是"最终的仲裁者"。穆塔齐勒派不喜欢对《古兰经》进行传统的拟人化解释，甚至宣称《古兰经》不能被恰当地视为安拉的话语，因为安拉不可能有可分离的部分。这种观点认为，《古兰经》是创造出来的，而不是像流行的宗教信仰认为的那样是永恒的。
这种对伊斯兰教基本戒律的诠释令人兴奋，但在宗教正统派中却完全不受待见，他们对这些理性主义思想的方方面面都极力反对。最终，这场冲突引发了一场意识形态危机，导致哈里发马蒙（al-Mamun）试图通过将接受穆塔兹主义作为官方服务的条件来迫使人们接受这一观点，面对持续不断的反对声，他对那些拒绝接受其统治的人实施了宗教裁判所（mihnah）。这反过来又引起了宗教和民众对这些举措的强烈反响，因此哈里发试图在理性实践和宗教遵守之间强加某种程度的分离最终失败了。事后看来，这证明是伊斯兰教的一个岔路口，最终信仰优先于理性——古典希腊态度的影响力因此下降。在随后的几个世纪里，科学思想和怀疑、理性的思维在伊斯兰世界继续发挥着重要作用，并取得了许多重要发现，但客观地说，伊斯兰科学在公元前1000年左右达到顶峰，并进入漫长而缓慢的衰落期。不幸的是，此后伊斯兰世界的宗教保守主义和教条主义倾向越来越倾向于创造不利于追求科学知识的条件。
这一过程中的一个关键时刻发生在公元十一世纪，当时颇具影响力的神学家加扎利在一本名为《哲学家的不一致性》（Tahafutal-Falasifa）的著作中抨击了整个希腊哲学传统（尤其是新柏拉图主义的"唤醒"原则），将其斥为异端邪说。这一宣言标志着伊斯兰认识论的重要转变。然而，此时新柏拉图主义的态度已被伊斯兰主流思想彻底同化，具有讽刺意味的是，加扎利本人在驳斥新柏拉图主义和其他古典哲学时也使用了古典辩证法。新柏拉图主义继续以许多微妙的方式影响着伊斯兰文化；然而，伊斯兰艺术中的超凡脱俗、几何图形、先入为主的思想确实可以看作是这一持久遗产的一部分。这种宗教哲学的复杂思想不太可能引起大多数艺术家/手工艺者的兴趣，但他们（以及伊斯兰社会中的许多其他人）似乎通过上述文化渗透的方式吸收了其中的许多广泛概念。
加扎利（Al-Ghazali，公元1058-1111年）是伊斯兰文化史上的杰出人物，至今仍被视为最伟大的宗教思想家之一。他之所以重要，是因为在他所处的时代，法律和立法事务中的终极权威问题（其根源在于上文提到的穆塔兹主义之争）已成为文化危机的一部分。伊斯兰社会朝着各种不可调和的方向发展，其中包括希腊理性/哲学传统的持续挑战。加扎利在个人层面上经历了这种认识论上的分裂，表现为信仰和良知危机，导致精神和身体完全崩溃。他从这一创伤经历中恢复过来，从以前极端的哲学怀疑论转变为更加神秘地接受先知启示的作用。他的《宗教科学的复兴》（Ihyauluml-din）对伊斯兰真理进行了彻底的重新聚焦，影响巨大。通过这部著作和其他作品，他被誉为"信仰的恢复者"。他的成就体现在他的思想被广泛接受。对于苏菲派来说，他仍然是一位神秘主义者；对于正统神学家来说，他是一位重要的宗教导师；而对于法学家来说，他仍然是一位受人敬仰的杰出法学家。
后来，加扎利（他出版了约70本著作）间接影响了欧洲的理性思想，特别是通过托马斯·阿奎那和帕斯卡尔的哲学著作，使欧洲理性思想从黑暗时代缓慢地崛起。
伊斯兰世界的理论几何学和手工艺实践
鉴于其起源，木工需要大量的各种几何知识。它需要关于比例和测量的一般或专门的知识，以便以适当的方式将形式从潜在变为现实，而关于比例的知识必须求助于几何学家。因此，希腊主要的几何学家都是木匠大师。《原理》的作者欧几里得就是一位木匠，并因此而闻名。《圆锥曲线》一书的作者阿波罗尼乌斯、墨涅拉乌斯等人也是如此。伊本·胡尔敦（IbnKhuldun）摘自他的《Muqaddimah》（Khaldun1967）。
希腊数学传统在伊斯兰领域的延续，尤其是其几何学，无疑令人印象深刻。几何学从翻译运动一开始就受到青睐，主要是因为它有许多明显的实际应用。欧几里得的《几何原本》为平面几何奠定了基础，该书很早就被翻译过来，并因其有条不紊、合乎逻辑的论述而备受推崇。事实上，这部著作不仅是理论几何学的基础，也是逻辑方法论的典范。它通过一系列公理的稳步推进，为伊斯兰各种数学和科学研究的严谨性树立了标杆。
事实上，在伊斯兰教中世纪的任何现存数学文献中，几乎都没有关于装饰的记载。其艺术和建筑艺术中的几何形式都是由艺术家/工匠创造的，实际上，从纯数学的角度来看，即使是最复杂的装饰板也相对微不足道。当然，当时的数学家对几何设计感兴趣是再自然不过的事了——他们现在仍然如此。诚然，我们可以看到一些"学术"几何学家与使用几何图形的工匠之间的交流，但同样没有证据表明他们在实际项目中进行了合作。据此可以判断（因为此类接触的证据往往来自学术方面），双方之间从未有过完全的思想碰撞。"给工匠的建议"之类的文献，往往是指手画脚地试图让艺术家/工匠"正确地"，即按照纯粹的欧几里得几何原理来构造他们的设计。如前所述，在设计中加入"近似"（即在设计中加入"不完全"规则的图形）是任何几何学术家都无法接受的，但设计师偶尔也会接受。
伊斯兰世界的数学及其与几何装饰的关系
近来，早期伊斯兰科学家和数学家对世界知识所做的巨大贡献得到了一定程度的认可，这是早该得到的。特别是，伊斯兰学术在恢复和发展古典文献以及随后将这一庞大的学术体系传播到中世纪欧洲方面所起的作用，现在已得到广泛承认。人们不再认为，从古典时期到现代早期，欧洲的学术链是一脉相承的——现在人们正确地认识到，文艺复兴时期对所有科学重新燃起的巨大兴趣在很大程度上是由伊斯兰的博学所推动的（蒙哥马利·瓦特，1972年；萨利巴，2011年）。
我们已经提到了伊斯兰科学的"黄金时代"，它兴盛于阿拔斯王朝早期（公元8世纪到10世纪之间的巴格达），涌现出了阿赫瓦里兹米、金迪和奥马尔·海亚姆等杰出学者。但是，伊斯兰科学建立在古典、帕提亚和印度知识的基础之上，在未来的几个世纪里，将继续在广袤的伊斯兰领地的各个中心取得重大进展。只要社会、知识和经济条件有利，就会取得进步，尤其是在数学、天文学、光学和医学等领域。尽管如此，"科学"——它与异教哲学的联系从未被完全遗忘——仍然受到正统派的怀疑。在皇室的庇护下，具有科学头脑的思想家通常会受到一定程度的保护，以免受到更加狂热的宗教批评家的影响——无论如何，宗教批评家对数学等抽象领域的研究不太关心。因此可以说，至少在较高的知识层次上，数学（尤其是几何）研究在整个中世纪伊斯兰世界都得到了很好的确立和广泛的传授，亚历山大柏拉图主义者欧几里得和托勒密分别作为几何学和天文学的鼻祖，保持了他们受人尊敬的地位。
然而，如前所述，在伊斯兰社会中，几乎没有证据表明"理论"数学家与几何工匠之间存在互动，尽管有少量现存文献表明这种互动偶尔会发生。作者GülruNecipoglu（1995年）和Alpayzdural（2000年）挑出了几个例子——一个源于10世纪，涉及数学家和占星家Abual-Wafaal-Buzjani，另一个是公元14世纪关于"互锁图形"的佚名波斯文。
Al-Wafaal-Buzjani（公元940-998年）著有一本实用几何手册《工匠必备的几何构造》（Risalafimayahtajual-sani'umina'malal-handasa），现存四个已知的手写版本——一个阿拉伯语版本和三个波斯语版本。原著是在巴格达用阿拉伯语写成的，但已不复存在，后来的每个副本都有一些缺失的信息和章节。现存的阿拉伯语版本（保存在伊斯坦布尔阿亚索菲亚图书馆）虽然不是原版，但比其他版本更完整。三份波斯语手稿中最著名的一份保存在法国巴黎国家图书馆。虽然这部作品明显是针对艺术家/工匠的，但其总体基调是对他们不愿采用"适当的"（即欧几里得）几何构造方法的批评。
关于数学家参与装饰方案的典故还有一些，但都不太具体。多才多艺的发明家阿尔贾扎里在《巧妙的机械装置》一书中绘制并描述了一个精心设计的门图（不过作者乔治-萨利巴指出，该书所依据的翻译可能有误）。奥玛尔-海亚姆（OmarKhayyam）在《工匠和几何学家的会议》中提到了一个诱人的典故，但这个典故也很含糊，容易引起误解。总之，根据这些证据和其他现有证据，很难对任何时期学术界持续参与伊斯兰几何装饰流派的概念提出任何实质性的主张。
历史视角的结论
在这里，我想让你们理解的"形状美"，不是大众所理解的"形状美"，比如活物之美或与活物相似的绘画之美，而是直角和圆形的交替之美，以及人们用圆规、方尺和规则从直角和圆形中创造出的曲面和实体之美。因为这些东西和其他东西一样，不是有条件的美，而是本身就是美的。
——柏拉图，出自《菲利伯斯对话录》
这里的命题是，伊斯兰教对对称和几何装饰形式的执着，最终都源于特定古典哲学传统的美学理想，即柏拉图主义/新柏拉图主义，它在伊斯兰教文化演变的早期阶段就被彻底吸收到伊斯兰教的主流思想中，但后来却遭到宗教反对。简而言之，我们认为，伊斯兰几何主义喜欢在欧几里得平面上无休止地玩弄抽象几何图形，本质上是一种柏拉图式的艺术形式。
我们意识到，从学术角度看，这一论断可能被视为毫无希望的泛泛之谈。然而，对这一主题的所有研究都面临同样的问题。如上所述，学术界数学家参与伊斯兰几何艺术发展的真实证据很少（但这并不意味着没有），而教义影响至上的观点（如"逊尼派复兴"理论所表达的）至少是值得怀疑的。尽管如此，正如本注释开头所述，伊斯兰世界的艺术和建筑之所以坚持强烈的对称布局和高度几何化的装饰模式，一定有其令人信服的原因。这种美学倾向似乎在伊斯兰文化自信的早期阶段就已形成，而且确实是伊斯兰文化自信的一种表现形式。一旦确定了这一特定的美学轨迹，即高度对称的装饰形式已成为文化表达的主要手段，继承下来的晚期古典主义装饰元素自然会得到美化、发展，并随着时代的变迁而变得更加复杂。
现代数学分析
十九世纪末，费多罗夫、舍恩菲斯和巴罗对17个壁纸群（二维晶体学群）和230个三维晶体学群进行了分类。现代权威分析见Grünbaum和Shephard(1987)。一个被多次提出的问题是，在最伟大的伊斯兰几何遗址之一的阿尔罕布拉宫中出现了多少种重复类型。这些研究包括Müller(1944)、Jaworski(2006)、Montesinos(1985)、Grünbaum(2006)和DuSautoy(2008)。在我们的案例中，我们只考虑有明显重复的直边密铺图案。这就是图3。
图3：阿尔罕布拉宫中出现的对称性
这意味着我们的严格标准只有17种情况中的8种，而DuSautoy有所有17种情况。关于对称组在整个伊斯兰世界的出现频率，见表（Wichmann和Wade2017年，第208页）。该表显示了一个非常不均匀的分布，具有两个对称性，没有已知的伊斯兰示例:××（pg）和22×（pgg）。
实际建筑物的图案区域通常可以表现为上述类型的重复图案。如图4所示，有些图案以圆形对称的方式展示更为真实。另见Wichmann和Wade（2017年，第207页，图，A31）。这一分析由布尔贡（Bourgoin）首先进行；见布尔贡（Bourgoin）（1873年，1879年）。对这一领域的兴趣部分归功于欧文·琼斯（OwenJones，1856年；琼斯和古里，1837年）的工作。
图4：伊斯法罕的KasehgaranMadrasah（Al-Naqsh，1983年），*5-（d5）对称，数据181/F111。关于该图案及其后的参考文献，请参见(TI2019)
另一种现代分析方法是仅用尺子和圆规来构造图案。高斯的研究表明，17边形的正多边形是可以构造的（伊斯兰艺术中似乎没有），而9边形的正多边形是不可以构造的（伊斯兰艺术中至少有三个例子）；见Jagy(2000)。
在许多情况下，对伊斯兰图案线描的分析是简单明了的。例如，在Wichmann和Wade（2017年，第8章）中，一个来自阿尔罕布拉宫的图案被证明是完全确定的，这意味着任何与数学表述的偏差都是错误的。关于星形图案的分析，请参见Lee(1987)和LeeandSoliman(2014)。
许多伊斯兰图案的一个特点是重复使用特定的瓷砖形状。在瓷砖的情况下，这可以通过复制过程来实现。一组常见的瓷砖是那些包含khatem的瓷砖，khatem是顶角为90°的8角星形多边形瓷砖。Wichmann和Wade（2017年，图9.10）给出了这样一组瓷砖。
许多拼块图案的一个重要特征是中央有一颗大星。在摩洛哥，图5就是一个很好的例子。从图中可以看出，中央星形图案周围的黑色条带上有大小不一的六边形拼块，这是电脑绘图中数学分析的结果。手工绘制的图案往往会进行调整以避免此类问题。16个点的恒星在这方面只有很小的差异，但对于较大的恒星，情况就一目了然了。详情请参见Wichmann和Wade（2017年，第10章）。
图5：非斯皇家宫殿，Paccard(1980)，data203/S32A
有一类重要的密铺图案，其角度总是36的倍数（Wichmann和Rigby，2009年）。这个角度确保了10角星形多边形的角度可以达到72或108度。此类图案种类繁多，土耳其的清真寺就是很好的代表。
图6展示了这类图案的基本特征。图（a）中显示了两颗主要的星星，都是10点。图（b）是一种常见的菱形图案。这两种图案都有一颗10点星，周围是风筝和黑色花瓣--这就是玫瑰花形的一个例子。请注意，钻石的大小可以通过调整玫瑰花形之间的距离来改变。
图6：十边形图案。(a)两种星型。(b)星形和菱形
另一类图案是具有六重对称性的图案：*632(p6m)或632(p6)。图7显示的是一个24点的星形图案，但这类六重图案也可能有6点或12点的星形图案。
图7：非斯，data194/FEZ1
另两个例子见图8。图（a）是六边形而不是星形，但不同寻常之处在于三向交错。这可以通过引入一个小三角形来避免（如某些变体）。图（b）是伊朗Kharraqan东部墓塔的早期图案。这里使用的颜色来自土耳其。
图8：六边形图案的两个例子。(a)六边形和交错。(b)早期示例
最后一类图案是那些数学分析非常困难或非常耗时以至于不值得进行的图案（因为它无法阐明设计）。Wichmann和Wade（2017年，第16章）的第一部分中就出现了这样的图案，其中进行了棘手的分析，并给出了人工构造的替代方案。这一类图案的存在并不令人惊讶，因为最初的艺术家们是在设计一种效果，并没有使用数学。
尽管很明显伊斯兰世界传达了他们的设计理念，但各个地区都有自己独特的风格。Wichmann和Wade（2017，图17.4）对此进行了总结。另一项分析是为各种设计制作日期，以便绘制柱状图。Wichmann和Wade（2017年，图17.3）对此进行了分析，但由于获得了更多数据，因此在此进行了修订。
图9显示了图案首次出现的日期与频率的对比分析。右侧的文字显示了直方图中出现频率较高的地区或遗址。阿尔罕布拉宫和法特普尔-锡克里的图案数量之多非常明显。布卢姆（2001年）认为，现成的纸张有助于图案的传播。
图9：数据分析
电脑使用
使用现代图形工具在计算机上绘制自己的伊斯兰风格图案的吸引力是显而易见的（Wichmann2001）。因此，互联网上有许多此类材料的网站。
图10：中心星边界部分，data0/S48P1
伦敦摄政公园清真寺中还有一个几乎无法用数学方法分析的棘手设计。在这里，七角星是设计的一个组成部分，而不是克服潜在问题的一种手段；见图11。
图11：摄政公园清真寺，穹顶下的边界，数据0/REG1
第二本值得考虑的书是Broug（2013年）。正文包括一些出色的照片，其中许多照片都不易找到。文中的小图提供了在电脑上制作完整图案的线索。附录中只有图纸，主要是使用Broug（2008年）中描述的技术绘制的。其中一些图纸似乎具有伊斯兰风格，而不是根据实际文物绘制的。绘制方法并不总能绘制出伊斯兰范例中使用比例的图案。
参考文献
Al-KhaliliJ(2010)Pathfinders.AllenLane,NewYork
AllenT(2004)Islamicartandtheargumentfromacademicgeometry.SolipsistPress,Weidenfield&Nicholson
Al-NaqshMM(1983)DesignandexecutionofdrawinginIraniantilework,Islamicperiod.RezaAbbasiMuseum,(InPersian)
BlairSS(2006)Islamiccalligraphy.EdinburghUniversityPress,Edinburgh
BloomJM(2001)Paperbeforeprint:thehistoryandimpactofpaperintheIslamicworld.YaleUniversityPress,NewHaven
BloomJM(2007)Artsofthecityvictorious.Yale,NewHaven
BonnerJ(2016)Islamicgeometricpatterns.Springer.ISBN:9781441902160
BourgoinJ(1873)Lesartsarabes.Morel,Paris
BourgoinJ(1879)LesElémentsdel’artarabe:letraitdesentrelacs,Paris(PatternsavailableasaDoverreprint)
BrougE(2008)Islamicgeometricpatterns.Thames&Hudson,London
BrougE(2013)Islamicgeometricdesign.ThamesandHudson,London
CastéraJ-M(1999)Arabesques:decorativeartinMorocco.ACREdition,Paris
ChorbachiWK(1989)Inthetowerofbabel:beyondsymmetryinIslamicdesign.ComputMathAppl17(4–6):751–789
DeBoerTJ(1903)ThehistoryofphilosophyinIslam.Luzac,London
DuSautoyM(2008)Findingmoonshine—amathematician’sjourneythroughsymmetry.Fourth
Estate,London.ISBN:978-0-00-721467-2
FreelyJ(2009)Aladdin’slamp:howGreeksciencecametoEuropethroughtheIslamicworld.AlfredA.Knoopf,NewYork
GrabarO(1973)TheformationofIslamicart.YaleUniversityPress,NewHaven
GrünbaumB(2006)WhatgroupsarepresentintheAlhambraNotAmMathSoc53:670–673.
GrünbaumB,ShephardGC(1987)Tilingsandpatterns.W.H.Freeman&Co.,NewYork
JonesO(1856)Thegrammarofornament.Dover.(reprint)OriginalversionavailableontheInternet
JonesO,GouryJ(1837)Plans,elevations,sections,anddetailsoftheAlhambra....O.Jones,London
KennedyH(2005)WhenBaghdadruledtheMuslimworld.DaCapoPress,Cambridge
KhaldunI(1967)In:DawoodNA(ed)TheMuqaddimah:anintroductiontohistory(trans:FranzRosenthal).PrincetonUniversityPress,Princeton,RoutledgeandKeganPaul
KühnelE(1949)Arabesques.VerlagfürSammler
LeeAJ(1987)Islamicstarpatterns.Muqarnas4:182–197
MontesinosJM(1985)Classicaltessellationsandthree-manifolds.Springer.ISBN:3-540-15291-1
MontgomeryWattW(1972)TheinfluenceofIslamonmedievalEurope.EdinburghUniversityPress,Edinburgh
MorewedgeP(ed)(1992)NeoplatonismandIslamicthought.UniversityofNewYork,Albany
MüllerE(1944)GruppentheoretischeundStrukturanalytischeUntersuchungenderMaurischenOrnamenteausderAlhambrainGranada.PhDthesis,ZürichUniversity.Baublatt,Rüschlikon
NecipogluG(1995)TheTopkapscroll:geometryandornamentinIslamicarchitecture.TheGettyCenterfortheHistoryofArtandtheHumanities,SantaMonica
zduralA(2000)Mathematicsandarts:connectionsbetweentheoryandpracticeinthemedievalIslamicworld.HistMath27:171–201
PaccardA(1980)TraditionalIslamiccraftinMoroccanarchitecture.Saint-Jorioz,Atelier
Routledge,KeganP(1975)TheclassicalheritageinIslam.UniversityofCaliforniaPress,Berkeley
SalibaG(2011)IslamicscienceandthemakingoftheEuropeanrenaissance.MITPress,Cambridge
Tilingsearchwebsite(2019)www..GraphicsrefertoaspecificwebsiteURL,e.g.,data162/P077givesthewww./HTML/data162/P077.html
WadeD(2018)PatternsinIslamicart.Thewebsite:www.patterninislamicart.com.PhotosreferenceintheformatEGY0512
WichmannBA(2001)Theworldofpatterns.WorldScientific.ISBN:981024619
WichmannB,RigbyJ(2009)Yemenisquares.MITPress,Leonardo42(2):156–162
WichmannB,WadeD(2017)Islamicdesign:amathematicalapproach.Birkhuser,Cham
WichmannB,WadeD,IslamicDesignandItsRelationtoMathematics
青山不改，绿水长流，在下告退。
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